Déterminants d’ordre 2ou3
COURS
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Lesdéterminants vont également nous permettre d’exprimer explicitement la solution d’un systèmedeCramer.
Supposonspar exemple que n = 3. Considéronslesystème :
(S)
⎧
⎨
⎩
a 11 x + a 12 y + a 13 z = c 1
a 21 x + a 22 y + a 23 z = c 2
a 31 x + a 32 y + a 33 z = c 3
avec Det A
= 0o ùA = ( a ij )
Ce système peut s’interpréter vectoriellement en considérant l’espace vectoriel K
3
et lesvecteurs :
v 1 = (a 11 , a 21 , a 31 ) , v 2 = (a 12 , a 22 , a 32 ) , v 3 = (a 13 , a 23 , a 33 )
et c = (c 1 , c 2 , c 3 )
La matrice A représente la famille de vecteurs (v 1 , v 2 , v 3 )d ans la base canonique
de K
3
, que nous noterons b. Comme Det A
= 0, cette famille estune base de
K
3
.
Le triplet (x, y, z) ∈ K
3
est solution du système (S)s ietseulement si :
xv 1 + yv 2 + zv 3 = c
c’est-à-dire s’il s’agit des coordonnées du vecteur c dans la base (v 1 , v 2 , v 3 ).
Pour les calculer, utilisons le fait que Det b soit une forme trilinéaire alternée :
Det b (c, v 2 , v 3 ) = Det b (xv 1 + yv 2 + zv 3 , v 2 , v 3 ) = x Det b (v 1 , v 2 , v 3 )
Det b (v 1 , c, v 3 ) = Det b (v 1 , xv 1 + yv 2 + zv 3 , v 3 ) = y Det b (v 1 , v 2 , v 3 )
Det b (v 1 , v 2 , c) = Det b (v 1 , v 2 , xv 1 + yv 2 + zv 3 ) = z Det b (v 1 , v 2 , v 3 )
On en déduit :
x =
Det b (c, v 2 , v 3 )
Det b (v 1 , v 2 , v 3 )
=
c 1 a 12 a 13
c 2 a 22 a 23
c 3 a 32 a 33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
y =
Det b (v 1 , c, v 3 )
Det b (v 1 , v 2 , v 3 )
=
a 11 c 1 a 13
a 21 c 2 a 23
a 31 c 3 a 33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
z =
Det b (v 1 , v 2 , c)
Det b (v 1 , v 2 , v 3 )
=
a 11 a 12 c 1
a 21 a 22 c 2
a 31 a 32 c 3
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
Ces résultats sont appelés formules de Cramer.
Dansu ns ystème de Cramer de la forme AX = C , la i-ème inconnue est
le quotient par Det A du déterminant obtenu àp artir de celui de A en
remplaçant la i-ème colonne par celle des secondsmembres : C .
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