COURS 24
Déterminants d’ordre 2ou3
5.2• Propriétés
Lespropriétés du déterminant d’une matrice carrée découlent immédiatement de
celles du déterminant d’un endomorphismepar l’isomorphisme :
L(E) →M n ( K )
u
→ M b (u)
d’où:
Théorème 11
1) ∀(A, B) ∈M n (K)
2
Det(AB) = Det(A)Det(B)
2) ∀A ∈M n (K) ∀λ∈K Det(λA) = λ
n
Det(A)
Théorème 12
∀A ∈M n (K) A∈GL n (K)⇐⇒ Det(A) = 0
et ∀A ∈GL n (K)D et(A
−1
) = (Det(A))
−1
5.3 • Déterminantdelatransposée d’une matrice carrée
Théorème 13
Soit A unematrice carrée d’ordre n 3.
Det
t
A = Det A
Démonstration
Si n = 2:soit A =
ab
cd
Det
t
A =
ac
bd
= ad − cb = Det A
Si n = 3:soit A =
⎛
⎝
a 1 b 1 c 1
a 2 b 2 c 2
a 3 b 3 c 3
⎞
⎠
Det
t
A =
a 1 a 2 a 3
b 1 b 2 b 3
c 1 c 2 c 3
= a 1 b 2 c 3 +a 2 b 3 c 1 +a 3 b 1 c 2 −a 3 b 2 c 1 −a 1 b 3 c 2 −a 2 b 1 c 3 = Det A
Pours’entraîner :ex. 7
6 Formules de Cramer
Un systèmelinéaire de n équations à n inconnues peut s’écrire AX = C , où
A est une matrice carrée d’ordre n et C une matrice unicolonne à n lignes
fixée. Nous avonsvudans le chapitre précédent que ce système admet une solution
unique si et seulement si la matrice A est inversible. Pour n 3, nous savons
désormais qu’il en estainsi si et seulement si Det A
= 0.
Un telsystème est appelé système de Cramer.
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