Déterminants d’ordre 2ou3
COURS
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Démonstration
Supposons que n = 3. Soit b = (e 1 , e 2 , e 3 )u ne base de E.
1) Det(uv) = Det b (uv(e 1 ), uv(e 2 ), uv(e 3 )) = Det(u)Det b (v(e 1 ), v(e 2 ), v(e 3 ))
= Det(u)Det(v)
2) Det(λu) = Det b (λu(e 1 ), λu(e 2 ), λu(e 3 )) = λ
3
Det b (u(e 1 ), u(e 2 ), u(e 3 ))
= λ
3
Det(u)
Théorème 10
Un endomorphisme u d’un espace vectorieldedimension n 3e st bijectif si
et seulement si Det(u)
= 0e t:
∀u∈GL(E)D et(u
−1
) = (Det(u))
−1
Démonstration
Supposonsque n = 3. Soit b = (e 1 , e 2 , e 3 )u ne base de E.
u ∈GL(E) ⇐⇒ u ( b )e st une base ⇐⇒ Det b (u(b))
= 0 ⇐⇒ Det(u) = 0
∀u ∈GL(E)D et(u)Det(u
−1
) = Det(uu
−1
) = Det(Id E ) = 1
d’où Det(u
−1
) = (Det(u))
−1
Pour s’entraîner:ex. 5et6
5 Déterminant d’une matrice carrée
5.1 • Définition
Soit A unematrice carrée d’ordre n 3. La matrice A représente :
–une famille de n vecteurs de K
n
dans une base b ;
–unendomorphisme de K
n
relativement àune base b.
On appelle déterminant de A le déterminantdecette famille dans la base b ou,
ce qui revient au même, le déterminant de cet endomorphisme.
Pour n = 2e tA =
a 11 a 12
a 21 a 22
Det(A) = a 11 a 22 − a 12 a 21
On le note:
Det(A) =
a 11 a 12
a 21 a 22
La fonction det calculel ed éterminant d’une matrice
carrée.
Pour n = 3e tA =
⎛
⎝
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
⎞
⎠
Det(A) = a 11 a 22 a 33 − a 11 a 23 a 32 + a 12 a 23 a 31 −
a 12 a 21 a 33 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31
On le note :D et(A) =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
Deux matrices carrées semblables ontlemême déterminant puisqu’elles représentent un même endomorphisme dans des bases
différentes.
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