COURS 24
Déterminants d’ordre 2ou3
IMPORTANT
Pourquoi ne peut-on paso rienter un
espace vectorielcomplexe ?
Les questions d’orientationi nterviennent fréquemment en Physique (électromagnétisme) et en Chimie (chiralité).
Il est important de comprendre que le choix d’une orientation ne peut être qu’arbitraire. Des expressions comme «sens opposé aux aiguilles d’une montre », «règle du
tire-bouchon»,«bonhomme d’Ampère »etc., font référence àdes objets concrets
qui pourraient très bien être construits dans le sens inverse.
4 Déterminant d’un endomorphisme
4.1 • Invariance par changement de base
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 3. Pour fixer les idées, nous supposerons dans ce paragraphe que n = 3, mais tous les résultats seront également
valables pour n = 1o un=2 .
Soit u un endomorphismede E. Étant donné une base b de E, l’application
de E
3
dans K :
(x, y, z)
→ Det b (u(x), u(y), u(z))
est une forme trilinéaire sur E.
Il existe donc,d’après le théorème 7, un scalaire λ tel que :
∀(x, y, z) ∈ E
3
Det b (u(x), u(y), u(z)) = λ Det b (x, y, z)
Étant donné une autre base b
de E :
Det b (u(x), u(y), u(z)) = Det b (b)Det b (u(x), u(y), u(z))
= Det b (b) λ Det b (x, y, z)
= λ Det b (x, y, z)
Le scalaire λ ne dépend donc pas de la base choisie. On l’appelle déterminant de
l’endomorphisme u. On adonc pour toute base b :
∀(x, y, z) ∈ E
3
Det b (u(x), u(y), u(z)) = Det(u)D et b (x, y, z)
En choisissant pour (x, y, z)l abase b = (e 1 , e 2 , e 3 ),on remarque que :
Det(u) = Det b (u(e 1 ), u(e 2 ), u(e 3 ))
4.2 • Propriétés
Théorème 9
Soit E un espace vectorieldedimension finie n 3.
1) ∀(u, v) ∈L(E)
2
Det(uv) = Det(u)Det(v)
2) ∀u ∈L(E) ∀λ∈K Det(λu) = λ
n
Det(u)
440