Déterminants d’ordre 2ou3
COURS
24
Théorème 8
Dans un espace vectorieldedimension 3muni d’une base b :
• la famille (x, y, z)e st liée si et seulement si Det b (x, y, z) = 0;
• la famille (x, y, z)e st une base si et seulement si Det b (x, y, z)
= 0.
3 Orientation
d’un espace vectoriel réel
Soit E un espace vectoriel réel de dimension n 3e tb 1 une base fixée de E.
Pour toutebase b de E, soit Det b1 (b) > 0,soit Det b1 (b) < 0.
Désignonspar B l’ensemble desbases de E, B + l’ensemble des bases b telles
que Det b1 (b) > 0e tB − l’ensemble des bases b telles que Det b1 (b) < 0.
On adonc :
B = B + ∪B − et B + ∩B − =∅
L’ensemble des bases de E est partagé en deux classesdisjointes. Cette partition
ne dépend pas de la base b 1 choisie au départ ;e ne ffet, en remplaçant b 1 par
unebase b 2 telleque Det b1 b 2 > 0, les classes B + et B − sont inchangées :
∀b ∈B
Det b1 b > 0 ⇐⇒ Det b2 b > 0
et
Det b1 b < 0 ⇐⇒ Det b2 b < 0
En remplaçant b 1 par une base b 3 telleque Det b1 b 3 < 0, on permutesimplementles rôles des classes B + et B − :
∀b ∈B
Det b1 b > 0 ⇐⇒ Det b3 b < 0
et
Det b1 b < 0 ⇐⇒ Det b3 b > 0
Orienter l’espace E, c’estchoisir l’une de ces deux classes, dont les éléments seront
appelés bases directes,tandis que les éléments de l’autre classe seront appelés bases
rétrogrades.
IMPORTANT
Les expressions base directe, base rétrograde n’ontunsens quesil’on précise
que l’espace E est orienté.
• Si dim E = 1( Eest une droite vectorielle), l’orientation correspond au
choix d’un «sens »s ur la droite. Une base (e 1 )e st directe si et seulement si le
vecteur e 1 estdans le sens choisi.
• Si dim E = 2(Eest un plan vectoriel), l’orientation correspond au choix
d’un «sens de rotation »dans le plan. Unebase (e 1 , e 2 )e st directe si et seulement
si «ontourne de e 1 vers e 2 »dans le sens choisi.
• Si dim E = 3, l’orientation correspond au choix d’un «sens de vissage »dans
l’espace.Une base (e 1 , e 2 , e 3 )e st directe si et seulement si «quand on tourne de
e 1 vers e 2 »on«progresse dans le sens de e 3 », relativement au sens de vissage
choisi.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Théorème 8
Dans un espace vectorieldedimension 3muni d’une base b :
• la famille (x, y, z)e st liée si et seulement si Det b (x, y, z) = 0;
• la famille (x, y, z)e st une base si et seulement si Det b (x, y, z)
= 0.
3 Orientation
d’un espace vectoriel réel
Soit E un espace vectoriel réel de dimension n 3e tb 1 une base fixée de E.
Pour toutebase b de E, soit Det b1 (b) > 0,soit Det b1 (b) < 0.
Désignonspar B l’ensemble desbases de E, B + l’ensemble des bases b telles
que Det b1 (b) > 0e tB − l’ensemble des bases b telles que Det b1 (b) < 0.
On adonc :
B = B + ∪B − et B + ∩B − =∅
L’ensemble des bases de E est partagé en deux classesdisjointes. Cette partition
ne dépend pas de la base b 1 choisie au départ ;e ne ffet, en remplaçant b 1 par
unebase b 2 telleque Det b1 b 2 > 0, les classes B + et B − sont inchangées :
∀b ∈B
Det b1 b > 0 ⇐⇒ Det b2 b > 0
et
Det b1 b < 0 ⇐⇒ Det b2 b < 0
En remplaçant b 1 par une base b 3 telleque Det b1 b 3 < 0, on permutesimplementles rôles des classes B + et B − :
∀b ∈B
Det b1 b > 0 ⇐⇒ Det b3 b < 0
et
Det b1 b < 0 ⇐⇒ Det b3 b > 0
Orienter l’espace E, c’estchoisir l’une de ces deux classes, dont les éléments seront
appelés bases directes,tandis que les éléments de l’autre classe seront appelés bases
rétrogrades.
IMPORTANT
Les expressions base directe, base rétrograde n’ontunsens quesil’on précise
que l’espace E est orienté.
• Si dim E = 1( Eest une droite vectorielle), l’orientation correspond au
choix d’un «sens »s ur la droite. Une base (e 1 )e st directe si et seulement si le
vecteur e 1 estdans le sens choisi.
• Si dim E = 2(Eest un plan vectoriel), l’orientation correspond au choix
d’un «sens de rotation »dans le plan. Unebase (e 1 , e 2 )e st directe si et seulement
si «ontourne de e 1 vers e 2 »dans le sens choisi.
• Si dim E = 3, l’orientation correspond au choix d’un «sens de vissage »dans
l’espace.Une base (e 1 , e 2 , e 3 )e st directe si et seulement si «quand on tourne de
e 1 vers e 2 »on«progresse dans le sens de e 3 », relativement au sens de vissage
choisi.
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