COURS 24
Déterminants d’ordre 2ou3
Démonstration
1) Montrons que pour (y, z)f ixé dans E
2
, l’application
E →
K
x
→ Det b (x, y, z)
est linéaire :enposant x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 , x
= x
1 e 1 + x
2 e 2 + x
3 e 3 ,
y = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 et z = z 1 e 1 + z 2 e 2 + z 3 e 3 , pour tout (λ, λ
) ∈ K
2
:
Det b (λx + λ
x
, y, z)
= (λx 1 + λ
x
1 )(y 2 z 3 − y 3 z 2 )+(λx 2 +λ
x
2 )(y 3 z 1 − y 1 z 3 )+
(λx 3 +λ
x
3 )(y 1 z 2 − y 2 z 1 )
= λDet b (x, y, z)+λ
Det b (x, y, z)
La linéaritépar rapport aux deux autres variables s’obtient par un calcul similaire.
L’applicationD et b est donc trilinéaire.
2) Supposons que x = y.
Det b (x, x, z) = x 1 x 2 z 3 + x 1 z 2 x 3 + z 1 x 2 x 3 − z 1 x 2 x 3 − x 1 z 2 x 3 − x 1 x 2 z 3 = 0
On peut montrerdemême que Det b (x, y, x) = 0e tque Det b (x, y, y) = 0.
L’applicationD et b est donc alternée.
3) Enfin, Det b (e 1 , e 2 , e 3 ) = 1d onc l’application Det b n’est pas nulle.
On peut donc achever le raisonnement du paragraphe précédent et énoncer :
Théorème 7
Pour tout espace vectoriel E de dimension3 ,les formes trilinéaires
alternées sur E constituent un espace vectoriel de dimension 1, dont l’application
Det b est une base.
Le déterminant dans la base b est l’unique forme trilinéaire alternée qui prend
la valeur 1sur b.
Pour s’entraîner :ex. 3et4
2.5• Caractérisation d’une base
Comme en dimension 2, on peutr emarquer que pour toute base b
de E,
le déterminant dans la base b
est une forme trilinéaire alternée sur E et par
conséquent :
Det b = Det b (e 1 , e 2 , e 3 )Det b ,c’est-à-dire :
∀(x, y, z) ∈ E
3
Det b (x, y, z) = Det b (e 1 , e 2 , e 3 )Det b (x, y, z)
En abrégé :D et b (X ) = Det b (b)Det b (X ) .
En particulier :D et b (b
)Det b (b) = Det b (b
) = 1,d’où :
Det b (b) = (Det b (b
))
−1
On en déduit que le déterminant d’une base dans uneautre n’est jamais nul ;par
conséquent si le déterminant dans une base b d’une famille( x , y , z )s ’annule,
cette familleest liée. C’est la réciproque du théorème 4:
438
Déterminants d’ordre 2ou3
Démonstration
1) Montrons que pour (y, z)f ixé dans E
2
, l’application
E →
K
x
→ Det b (x, y, z)
est linéaire :enposant x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 , x
= x
1 e 1 + x
2 e 2 + x
3 e 3 ,
y = y 1 e 1 + y 2 e 2 + y 3 e 3 et z = z 1 e 1 + z 2 e 2 + z 3 e 3 , pour tout (λ, λ
) ∈ K
2
:
Det b (λx + λ
x
, y, z)
= (λx 1 + λ
x
1 )(y 2 z 3 − y 3 z 2 )+(λx 2 +λ
x
2 )(y 3 z 1 − y 1 z 3 )+
(λx 3 +λ
x
3 )(y 1 z 2 − y 2 z 1 )
= λDet b (x, y, z)+λ
Det b (x, y, z)
La linéaritépar rapport aux deux autres variables s’obtient par un calcul similaire.
L’applicationD et b est donc trilinéaire.
2) Supposons que x = y.
Det b (x, x, z) = x 1 x 2 z 3 + x 1 z 2 x 3 + z 1 x 2 x 3 − z 1 x 2 x 3 − x 1 z 2 x 3 − x 1 x 2 z 3 = 0
On peut montrerdemême que Det b (x, y, x) = 0e tque Det b (x, y, y) = 0.
L’applicationD et b est donc alternée.
3) Enfin, Det b (e 1 , e 2 , e 3 ) = 1d onc l’application Det b n’est pas nulle.
On peut donc achever le raisonnement du paragraphe précédent et énoncer :
Théorème 7
Pour tout espace vectoriel E de dimension3 ,les formes trilinéaires
alternées sur E constituent un espace vectoriel de dimension 1, dont l’application
Det b est une base.
Le déterminant dans la base b est l’unique forme trilinéaire alternée qui prend
la valeur 1sur b.
Pour s’entraîner :ex. 3et4
2.5• Caractérisation d’une base
Comme en dimension 2, on peutr emarquer que pour toute base b
de E,
le déterminant dans la base b
est une forme trilinéaire alternée sur E et par
conséquent :
Det b = Det b (e 1 , e 2 , e 3 )Det b ,c’est-à-dire :
∀(x, y, z) ∈ E
3
Det b (x, y, z) = Det b (e 1 , e 2 , e 3 )Det b (x, y, z)
En abrégé :D et b (X ) = Det b (b)Det b (X ) .
En particulier :D et b (b
)Det b (b) = Det b (b
) = 1,d’où :
Det b (b) = (Det b (b
))
−1
On en déduit que le déterminant d’une base dans uneautre n’est jamais nul ;par
conséquent si le déterminant dans une base b d’une famille( x , y , z )s ’annule,
cette familleest liée. C’est la réciproque du théorème 4:
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