Déterminants d’ordre 2ou3
COURS
24
Or f (e i , e j , e k )e st nul dès que deux de ces vecteurs sont égaux. Il reste donc
seulement six termes :
f (x, y, z) = x 1 y 2 z 3 f (e 1 , e 2 , e 3 )+x 2 y 3 z 1 f( e 2 , e 3 , e 1 )+x 3 y 1 z 2 f( e 3 , e 1 , e 2 )
+x 1 y 3 z 2 f( e 1 , e 3 , e 2 )+x 2 y 1 z 3 f( e 2 , e 1 , e 3 )+x 3 y 2 z 1 f( e 3 , e 2 , e 1 )
Comme f est alternée :
f (e 2 , e 3 , e 1 ) = f (e 3 , e 1 , e 2 ) = f (e 1 , e 2 , e 3 )
et f (e 1 , e 3 , e 2 ) = f (e 2 , e 1 , e 3 ) = f (e 3 , e 2 , e 1 ) = −f (e 1 , e 2 , e 3 )
En définitive :
f (x, y, z) =
x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2
−x 1 y 3 z 2 − x 2 y 1 z 3 − x 3 y 2 z 1
f (e 1 , e 2 , e 3 )
2.3 • Déterminantd’ordre 3
IMPORTANT
Voir Règle de Sarrus( Application 3,
chapitre 7).
L’expression
x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 − x 1 y 3 z 2 − x 2 y 1 z 3 − x 3 y 2 z 1
est
appelée déterminant de la famille de vecteurs (x, y, z)d ans la base b et notée :
Det b (x, y, z) =
x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 − x 1 y 3 z 2 − x 2 y 1 z 3 − x 3 y 2 z 1
ou :D et b (x, y, z) =
x 1 y 1 z 1
x 2 y 2 z 2
x 3 y 3 z 3
Le calcul du paragraphe précédentmontre que :
Théorème 5
Pourtoute forme f trilinéaire alternée sur E de dimension 3:
∀(x,y,z)∈E
2
f(x,y,z)=Det b (x, y, z) · f (e 1 , e 2 , e 3 )
Unef orme trilinéaire alternée sur E est entièrement déterminée par la valeur
qu’elle prend sur b :toutes les formes trilinéaires alternées sur E sont colinéaires.
Elles forment un espace vectoriel de dimension 0o u1 .Pour pouvoir conclure
que cettedimension est1,ilfaut trouver au moins une forme trilinéaire alternée
non nulle.
Pour s’entraîner:ex. 2
2.4 • Propriétés du déterminant d’ordre 3
Théorème 6
E étant un espace vectoriel de dimension 3et b une base de E, l’application
Det b est une forme trilinéaire alternée non nulle sur E (elle prend la valeur 1
sur b ).
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
437
COURS
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Or f (e i , e j , e k )e st nul dès que deux de ces vecteurs sont égaux. Il reste donc
seulement six termes :
f (x, y, z) = x 1 y 2 z 3 f (e 1 , e 2 , e 3 )+x 2 y 3 z 1 f( e 2 , e 3 , e 1 )+x 3 y 1 z 2 f( e 3 , e 1 , e 2 )
+x 1 y 3 z 2 f( e 1 , e 3 , e 2 )+x 2 y 1 z 3 f( e 2 , e 1 , e 3 )+x 3 y 2 z 1 f( e 3 , e 2 , e 1 )
Comme f est alternée :
f (e 2 , e 3 , e 1 ) = f (e 3 , e 1 , e 2 ) = f (e 1 , e 2 , e 3 )
et f (e 1 , e 3 , e 2 ) = f (e 2 , e 1 , e 3 ) = f (e 3 , e 2 , e 1 ) = −f (e 1 , e 2 , e 3 )
En définitive :
f (x, y, z) =
x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2
−x 1 y 3 z 2 − x 2 y 1 z 3 − x 3 y 2 z 1
f (e 1 , e 2 , e 3 )
2.3 • Déterminantd’ordre 3
IMPORTANT
Voir Règle de Sarrus( Application 3,
chapitre 7).
L’expression
x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 − x 1 y 3 z 2 − x 2 y 1 z 3 − x 3 y 2 z 1
est
appelée déterminant de la famille de vecteurs (x, y, z)d ans la base b et notée :
Det b (x, y, z) =
x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 − x 1 y 3 z 2 − x 2 y 1 z 3 − x 3 y 2 z 1
ou :D et b (x, y, z) =
x 1 y 1 z 1
x 2 y 2 z 2
x 3 y 3 z 3
Le calcul du paragraphe précédentmontre que :
Théorème 5
Pourtoute forme f trilinéaire alternée sur E de dimension 3:
∀(x,y,z)∈E
2
f(x,y,z)=Det b (x, y, z) · f (e 1 , e 2 , e 3 )
Unef orme trilinéaire alternée sur E est entièrement déterminée par la valeur
qu’elle prend sur b :toutes les formes trilinéaires alternées sur E sont colinéaires.
Elles forment un espace vectoriel de dimension 0o u1 .Pour pouvoir conclure
que cettedimension est1,ilfaut trouver au moins une forme trilinéaire alternée
non nulle.
Pour s’entraîner:ex. 2
2.4 • Propriétés du déterminant d’ordre 3
Théorème 6
E étant un espace vectoriel de dimension 3et b une base de E, l’application
Det b est une forme trilinéaire alternée non nulle sur E (elle prend la valeur 1
sur b ).
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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