COURS 24
Déterminants d’ordre 2ou3
• ∀(x,z)∈E
2
l’application
E →
K
y
→ f (x, y, z)
est linéaire.
• ∀(x, y) ∈ E
2
l’application
E →
K
z
→ f (x, y, z)
est linéaire.
• ∀(x, y, z) ∈ E
3
( x = y ou y = z ou z = x ) ⇒ f (x, y, z) = 0
Les formes trilinéairesalternées possèdent des propriétés remarquables :
Théorème 3
Une forme trilinéaire alternée est changée en son opposée lorsqu’on échange deux
des trois variables.
IMPORTANT
Une permutation circulaire des trois
variables peut être obtenue par deux
échanges successifs de deux variables :
elle laisse donc invariante une forme
trilinéaire alternée.
Par exemple :
f (y, z, x) = −f (y, x, z)
= f (x, y, z)
Démonstration
Pour tout z fixé, l’application
E
2
→
K
(x, y)
→ f (x, y, z)
est bilinéaire alternée.
La propriété 4) du paragraphe 1.2. donne :
f (y, x, z) = −f (x, y, z)
On montrerait de même que f (z, y, x) = −f (x, y, z)e tf( x , z , y )=− f( x , y , z )
Théorème 4
Une forme trilinéaire alternée s’annule sur toute famille liée de trois vecteurs.
Démonstration
Soit f une forme trilinéaire alternée et (x, y, z)u ne famille liée de vecteurs de
E. L’un au moinsdes vecteurs estcombinaison linéaire des autres. Supposons, par
exemple, que:
z=αx+βy
f(x,y,z)=f(x,y,αx+βy)=αf(x,y,x)+βf(x,y,y)
Comme f est alternée, f (x, y, x) = 0e tf( x , y , y )=0;d’où f (x, y, z) = 0.
Nous démontrerons un peu plus loin la réciproque de ce théorème pour une forme
trilinéaire alternée non nulle (voir caractérisationd’une base).
2.2 • Calcul d’uneforme trilinéaire alternée
Soit f unef orme trilinéaire alternée sur E et x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 , y =
y 1 e 1 +y 2 e 2 +y 3 e 3 , z = z 1 e 1 +z 2 e 2 +z 3 e 3 trois vecteurs de E. Calculons f (x, y, z)
en fonction des coordonnées des trois vecteurs.
f (x, y, z) = f
⎛
⎝
3
i=1
x i e i ,
3
j=1
y j e j ,
3
k=1
z k e k
⎞
⎠
Le développementdecette expression contient en principe 3
3
= 27 termes :
f (x, y, z) =
(i,j,k)∈[[ 1 , 3]] 3
x i y j z k f (e i , e j , e k )
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Déterminants d’ordre 2ou3
• ∀(x,z)∈E
2
l’application
E →
K
y
→ f (x, y, z)
est linéaire.
• ∀(x, y) ∈ E
2
l’application
E →
K
z
→ f (x, y, z)
est linéaire.
• ∀(x, y, z) ∈ E
3
( x = y ou y = z ou z = x ) ⇒ f (x, y, z) = 0
Les formes trilinéairesalternées possèdent des propriétés remarquables :
Théorème 3
Une forme trilinéaire alternée est changée en son opposée lorsqu’on échange deux
des trois variables.
IMPORTANT
Une permutation circulaire des trois
variables peut être obtenue par deux
échanges successifs de deux variables :
elle laisse donc invariante une forme
trilinéaire alternée.
Par exemple :
f (y, z, x) = −f (y, x, z)
= f (x, y, z)
Démonstration
Pour tout z fixé, l’application
E
2
→
K
(x, y)
→ f (x, y, z)
est bilinéaire alternée.
La propriété 4) du paragraphe 1.2. donne :
f (y, x, z) = −f (x, y, z)
On montrerait de même que f (z, y, x) = −f (x, y, z)e tf( x , z , y )=− f( x , y , z )
Théorème 4
Une forme trilinéaire alternée s’annule sur toute famille liée de trois vecteurs.
Démonstration
Soit f une forme trilinéaire alternée et (x, y, z)u ne famille liée de vecteurs de
E. L’un au moinsdes vecteurs estcombinaison linéaire des autres. Supposons, par
exemple, que:
z=αx+βy
f(x,y,z)=f(x,y,αx+βy)=αf(x,y,x)+βf(x,y,y)
Comme f est alternée, f (x, y, x) = 0e tf( x , y , y )=0;d’où f (x, y, z) = 0.
Nous démontrerons un peu plus loin la réciproque de ce théorème pour une forme
trilinéaire alternée non nulle (voir caractérisationd’une base).
2.2 • Calcul d’uneforme trilinéaire alternée
Soit f unef orme trilinéaire alternée sur E et x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 , y =
y 1 e 1 +y 2 e 2 +y 3 e 3 , z = z 1 e 1 +z 2 e 2 +z 3 e 3 trois vecteurs de E. Calculons f (x, y, z)
en fonction des coordonnées des trois vecteurs.
f (x, y, z) = f
⎛
⎝
3
i=1
x i e i ,
3
j=1
y j e j ,
3
k=1
z k e k
⎞
⎠
Le développementdecette expression contient en principe 3
3
= 27 termes :
f (x, y, z) =
(i,j,k)∈[[ 1 , 3]] 3
x i y j z k f (e i , e j , e k )
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