Déterminants d’ordre 2ou3
COURS
24
Démonstration
Soit x = x 1 e 1 + x 2 e 2 et y = y 1 e 1 + y 2 e 2 , calculons f (x, y):
f( x , y ) = f( x 1 e 1 +x 2 e 2 , y 1 e 1 +y 2 e 2 )
= x 1 y 1 f( e 1 , e 1 )+x 1 y 2 f(e 1 ,e 2 )+x 2 y 1 f(e 2 ,e 1 )+x 2 y 2 f(e 2 ,e 2 )
f étant alternée, f (e 1 , e 1 ) = f (e 2 , e 2 ) = 0e tf ( e 2 , e 1 )=− f ( e 1 , e 2 )( voir
propriété4).
D’où :
f (x, y) = (x 1 y 2 − x 2 y 1 )f (e 1 , e 2 )
On s’aperçoit que f est entièrement déterminée par la valeur qu’elle prend en
(e 1 , e 2 ):
f=f( e 1 , e 2 )Det b
On peut conclure :
Corollaire2.1
Toutes lesformes bilinéaires alternées sur E sontcolinéaires :elles constituent
un espace vectoriel de dimension 1, dont l’application Det b est une base.
Le déterminant dans la base b est l’unique forme bilinéaire alternée qui prend
la valeur 1sur b.
1.4 • Changementdebase
Si b
estu ne autre base de E, le déterminant dans la base b
est une forme
bilinéaire alternée sur E et par conséquent :
Det b = Det b (e 1 , e 2 )Det b ,c’est-à-dire :
∀(x, y) ∈ E
2
Det b (x, y) = Det b (e 1 , e 2 )Det b (x, y)
En abrégé :D et b (X ) = Det b (b)Det b (X ).
C’est une «relation de Chasles ».
En particulier, si X = b
:D et b (b
)Det b (b) = Det b (b
) = 1,d’où :
Det b (b) = (Det b (b
))
−1
2 Déterminantd’ordre 3
K étant toujourslecorps R ou C ,reprenons cette étude dans un K-espace vectoriel
E de dimension3muni d’une base b = (e 1 , e 2 , e 3 ).
2.1 • Forme trilinéaire alternée
On appelle forme trilinéaire alternée sur E une application de E
3
dans K,
linéaire par rapport àchacune des trois variables et s’annulant dès que deuxd’entre
elles sont égales :
• ∀(y, z) ∈ E
2
l’application
E →
K
x → f (x, y, z)
est linéaire.
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
435