COURS 24
Déterminants d’ordre 2ou3
Démonstration
Soit x = x 1 e 1 + x 2 e 2 , x
= x
1 e 1 + x
2 e 2 , et y = y 1 e 1 + y 2 e 2 .
∀(λ, λ
) ∈ K
2
Det b (λx + λ
x
, y) = (λx 1 + λ
x
1 ) y 2 − (λx 2 + λ
x
2 ) y 1
= λ(x 1 y 2 − x 2 y 1 )+λ
(x
1 y 2 −x
2 y 1 )
=λDet b (x, y)+λ
Det b (x
, y)
2) Soit x un élément fixé de E.
L’application
E →
K
y → Det b (x, y)
est linéaire.
Démonstration
De la mêmefaçon, pour tout (y, y
) ∈ E
2
:
∀(μ, μ
) ∈ K
2
Det b (x, μy + μ
y
) = μ Det b (x, y)+μ
Det b (x, y
)
On dit que l’application
E
2
→
K
(x, y)
→ Det b (x, y)
est bilinéaire.
On en déduit :
∀(λ, λ
, μ, μ
) ∈ K
4
∀(x, x
, y, y
) ∈ E
4
Det b (λx + λ
x
, μy + μ
y
)
= λμDet b (x, y)+λ
μDet b (x
, y)+λμ
Det b (x, y
)+λ
μ
Det b (x
, y
)
3) ∀x ∈ E Det b (x, x) = 0
Démonstration
(x, x)e st une famille liée...
On dit que l’application
E
2
→
K
(x, y)
→ Det b (x, y)
est alternée.
L’application Det b est une forme bilinéaire alternée.
4) ∀(x, y) ∈ E
2
Det b (y, x) = −Det b (x, y)
Démonstration
C’estu ne conséquence des propriétés précédentes :p our toute forme bilinéaire
alternée f :
f (x + y, x + y) = f (x, x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=0
d’où :
f (x, y)+f(y,x)=0
5) Det b (e 1 , e 2 ) = 1, on note Det b b = 1.
1.3 • Caractérisationdes formes bilinéaires alternées
On am ontré que le déterminant dans la base b est une forme bilinéaire alternée. Montrons que réciproquement, toutef orme bilinéaire alternée sur E est
proportionnelle au déterminant dans b.
Théorème 2
Soit f une forme bilinéaire alternée sur E de dimension2.
∀(x,y)∈E
2
f(x,y)=Det b (x, y) · f (e 1 , e 2 )
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