Déterminants d’ordre 2ou3
COURS
24
1 Déterminant d’ordre 2
Danstout ce paragraphe, K est le corps R ou C et E un K-espacevectoriel
de dimension2,muni d’une base b = (e 1 , e 2 ).
1.1 • Conditiondecolinéarité de deux vecteurs d’un plan
Soit x = x 1 e 1 + x 2 e 2 et y = y 1 e 1 + y 2 e 2 deux vecteurs de E. Donnonsàl’aide
descoordonnées x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , une condition nécessaire et suffisante pour que les
vecteurs x et y soient colinéaires :
Théorème 1
Les vecteurs x = x 1 e 1 +x 2 e 2 et y = y 1 e 1 +y 2 e 2 sont colinéairessietseulement
si :
x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0
Démonstration
Supposons x et y colinéaires.
Si x
= 0, il existe un scalaire λ telque y = λx ;alors x 1 y 2 − x 2 y 1 = x 1 λx 2 −
x 2 λx 1 = 0. Si x = 0, la relation x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0e st encore vérifiée.
Réciproquement, supposons que x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0.
Si x 1 = x 2 = 0, alors x = 0e tyest colinéaire à x.
Si l’un des scalaires x 1 ou x 2 est non nul, par exemple si x 1
= 0, on peut écrire
y 1 =
y 1
x 1
x 1 et y 2 =
y 1
x 1
x 2 , d’où y = λx avec λ =
y 1
x 1
: x et y sont colinéaires.
IMPORTANT
Le déterminantintroduit dans le chapitre4«Géométrie élémentaire du
plan »é tait défini dans une base orthonormaled irecte. C’était un cas
particulier de déterminant dans une
base b .
L’expression x 1 y 2 − x 2 y 1 est appelée déterminant de la familledevecteurs (x, y)
dans la base b et notée:
Det b (x, y) = x 1 y 2 − x 2 y 1 =
x 1 y 1
x 2 y 2
On peut exprimer le résultat du théorème 1endisant :
∀(x, y) ∈ E
2
(x, y)est une famille liée
⇐⇒
Det b (x, y) = 0
Comme E est de dimension2,ilest équivalent de dire, par contraposition :
∀(x, y) ∈ E
2
(x, y)est une base de E
⇐⇒
Det b (x, y) = 0
1.2 • Propriétésdudéterminant
Étudions lespropriétés de l’application
E
2
→
K
(x, y)
→ Det b (x, y)
1) Soit y un élément fixé de E.
L’application
E →
K
x → Det b (x, y)
est linéaire.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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COURS
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1 Déterminant d’ordre 2
Danstout ce paragraphe, K est le corps R ou C et E un K-espacevectoriel
de dimension2,muni d’une base b = (e 1 , e 2 ).
1.1 • Conditiondecolinéarité de deux vecteurs d’un plan
Soit x = x 1 e 1 + x 2 e 2 et y = y 1 e 1 + y 2 e 2 deux vecteurs de E. Donnonsàl’aide
descoordonnées x 1 , x 2 , y 1 , y 2 , une condition nécessaire et suffisante pour que les
vecteurs x et y soient colinéaires :
Théorème 1
Les vecteurs x = x 1 e 1 +x 2 e 2 et y = y 1 e 1 +y 2 e 2 sont colinéairessietseulement
si :
x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0
Démonstration
Supposons x et y colinéaires.
Si x
= 0, il existe un scalaire λ telque y = λx ;alors x 1 y 2 − x 2 y 1 = x 1 λx 2 −
x 2 λx 1 = 0. Si x = 0, la relation x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0e st encore vérifiée.
Réciproquement, supposons que x 1 y 2 − x 2 y 1 = 0.
Si x 1 = x 2 = 0, alors x = 0e tyest colinéaire à x.
Si l’un des scalaires x 1 ou x 2 est non nul, par exemple si x 1
= 0, on peut écrire
y 1 =
y 1
x 1
x 1 et y 2 =
y 1
x 1
x 2 , d’où y = λx avec λ =
y 1
x 1
: x et y sont colinéaires.
IMPORTANT
Le déterminantintroduit dans le chapitre4«Géométrie élémentaire du
plan »é tait défini dans une base orthonormaled irecte. C’était un cas
particulier de déterminant dans une
base b .
L’expression x 1 y 2 − x 2 y 1 est appelée déterminant de la familledevecteurs (x, y)
dans la base b et notée:
Det b (x, y) = x 1 y 2 − x 2 y 1 =
x 1 y 1
x 2 y 2
On peut exprimer le résultat du théorème 1endisant :
∀(x, y) ∈ E
2
(x, y)est une famille liée
⇐⇒
Det b (x, y) = 0
Comme E est de dimension2,ilest équivalent de dire, par contraposition :
∀(x, y) ∈ E
2
(x, y)est une base de E
⇐⇒
Det b (x, y) = 0
1.2 • Propriétésdudéterminant
Étudions lespropriétés de l’application
E
2
→
K
(x, y)
→ Det b (x, y)
1) Soit y un élément fixé de E.
L’application
E →
K
x → Det b (x, y)
est linéaire.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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