Rang d’une matrice et systèmes linéaires
EXERCICES
23
2) Montrerque :K er f ⊂ Ker f
2 ⊂ Ker f
3 ⊂ Ker f
4 et que
cesinclusions sont strictes.
3) En déduire le rang des endomorphismes f
2 , f
3 et f
4 .
11 (Centrale-Supelec 2006)
Soit B ∈Mnr(R)e tC∈Mrn(R)d emême rang r .Montrer
que A = BC est aussi de rang r .
Réciproquement,s oit A ∈M n ( R )u ne matrice carrée de rang
r ;m ontrer l’existence d’une décomposition de A de la forme
précédente.
Trouver (à l’aide de Maple) une telle décomposition pour la matrice :
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1234
2345
3456
4567
⎞
⎟
⎟
⎠
431
EXERCICES
23
2) Montrerque :K er f ⊂ Ker f
2 ⊂ Ker f
3 ⊂ Ker f
4 et que
cesinclusions sont strictes.
3) En déduire le rang des endomorphismes f
2 , f
3 et f
4 .
11 (Centrale-Supelec 2006)
Soit B ∈Mnr(R)e tC∈Mrn(R)d emême rang r .Montrer
que A = BC est aussi de rang r .
Réciproquement,s oit A ∈M n ( R )u ne matrice carrée de rang
r ;m ontrer l’existence d’une décomposition de A de la forme
précédente.
Trouver (à l’aide de Maple) une telle décomposition pour la matrice :
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1234
2345
3456
4567
⎞
⎟
⎟
⎠
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