Exercices
1 Vraioufaux ?
a) Deux matrices de même type ont le même rang si et seulement
si elles sont équivalentes.
b) On ne change pas le rang d’une matrice en échangeant deux de
ses colonnes.
c) On ne change pas le rang d’une matrice en remplaçant une ligne
par une combinaison linéaire des autres lignes.
d) Si une matrice A est équivalente àu ne matrice triangulaire
T , son rang estlenombre de coefficients non nuls de la diagonale
de T .
e) Un système de n équationslinéaires à p inconnues de rang r
possède p − r inconnues arbitraires.
f) Un système de 4é quations linéaires à5inconnues at oujours
des solutions.
g) Un système de 4é quations linéaires à3i nconnues peut avoir
plusieurs solutions.
h) Un système admettant une solution unique aaumoins autant
d’équations qued’inconnues.
Rang d’une matrice
2 Déterminer le rang des matrices suivantes :
a)
⎛
⎜
⎜
⎝
2 −3 −4
315
− 10 − 1
024
⎞
⎟
⎟
⎠ b)
⎛
⎜
⎜
⎝
1 −2 −20
10 − 22
122 − 2
1 − 3 − 65
⎞
⎟
⎟
⎠
c)
⎛
⎜
⎜
⎝
11
111
2 − 13
1 − 2
12
4 − 15
39 11 −21 9
⎞
⎟
⎟
⎠ d)
⎛
⎝
1c os θ cos 2θ
cos θ cos 2θ cos 3θ
cos 2θ cos 3θ cos 4θ
⎞
⎠
3 Soit A = (ai,j) ∈Mn(K)d éfinie par : ai,j = 1s ii=j
et ai,j = a si i = j. Déterminer le rang de A en discutant
suivant les valeurs de a et de n.
4 Inverser,lorsque c’est possible, les matrices suivantes :
a)
⎛
⎝
−10 2
00 1
0 − 11
⎞
⎠ b)
⎛
⎝
1 −10
12 1
11 0
⎞
⎠
c)
⎛
⎝
1
i −i
−i 1
i
i −i 1
⎞
⎠ d)
⎛
⎝
1+a
11
11 + b1
11
1+c
⎞
⎠
Systèmes d’équations linéaires
5 Résoudreles systèmes :
a)
⎧
⎨
⎩
2x +3y−2z = 5
x−2y+3z = 2
4x−y+4z = λ
b)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x − y + z − t = 1
x + y − z − t = −1
x + y + z − t = 0
x − y − z + t = 2
où λ est un paramètre réel.
c)
x − 2y + z − 3t = 1
2x + y − z + t = −1
d)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x +2y−3z = 4
x+3y−z = 11
2x +5y−5z = 13
x +4y+z = 18
6
∗
Résoudre le système suivant en discutant suivant les valeurs
des paramètres a, b, c et d :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x + y + z + t
= 1
ax + by + cz + dt = 1
a
2 x + b
2 y + c
2 z + d
2 t = 1
a
3 x + b
3 y + c
3 z + d
3 t = 1
7 Résoudre le systèmesuivant en discutant suivant les valeurs
du paramètre complexe a :
⎧
⎨
⎩
x − ay + a
2 z = a
ax − a
2 y + az = 1
ax + y − a
3 z = 1
8 Deux systèmes voisinsont-ils des solutions voisines ?
⎧
⎨
⎩
10x +9y+z = −50
9x +10y+5z = 40
x +5y+9z = 180
⎧
⎨
⎩
10x +9y+z = −50
9x +10y+5z = 41
x +5y+9z = 180
9 Déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme f de
R
4 représenté dans la base canoniquepar la matrice :
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
011
1
101− 1
112
0
− 110
2
⎞
⎟
⎟
⎠
Exercices posés aux oraux des concours
10 (CCP 2006)
Soit E un R-espacevectoriel de dimension 4, et f un endomorphisme de E telque rg f = 3e tf
4 =0.
1) Montrer que f
2 = 0.En déduire une matrice simple représentantl’endomorphisme f .Ensupposant que f
3 = 0,trouver
unecontradiction.
430
1 Vraioufaux ?
a) Deux matrices de même type ont le même rang si et seulement
si elles sont équivalentes.
b) On ne change pas le rang d’une matrice en échangeant deux de
ses colonnes.
c) On ne change pas le rang d’une matrice en remplaçant une ligne
par une combinaison linéaire des autres lignes.
d) Si une matrice A est équivalente àu ne matrice triangulaire
T , son rang estlenombre de coefficients non nuls de la diagonale
de T .
e) Un système de n équationslinéaires à p inconnues de rang r
possède p − r inconnues arbitraires.
f) Un système de 4é quations linéaires à5inconnues at oujours
des solutions.
g) Un système de 4é quations linéaires à3i nconnues peut avoir
plusieurs solutions.
h) Un système admettant une solution unique aaumoins autant
d’équations qued’inconnues.
Rang d’une matrice
2 Déterminer le rang des matrices suivantes :
a)
⎛
⎜
⎜
⎝
2 −3 −4
315
− 10 − 1
024
⎞
⎟
⎟
⎠ b)
⎛
⎜
⎜
⎝
1 −2 −20
10 − 22
122 − 2
1 − 3 − 65
⎞
⎟
⎟
⎠
c)
⎛
⎜
⎜
⎝
11
111
2 − 13
1 − 2
12
4 − 15
39 11 −21 9
⎞
⎟
⎟
⎠ d)
⎛
⎝
1c os θ cos 2θ
cos θ cos 2θ cos 3θ
cos 2θ cos 3θ cos 4θ
⎞
⎠
3 Soit A = (ai,j) ∈Mn(K)d éfinie par : ai,j = 1s ii=j
et ai,j = a si i = j. Déterminer le rang de A en discutant
suivant les valeurs de a et de n.
4 Inverser,lorsque c’est possible, les matrices suivantes :
a)
⎛
⎝
−10 2
00 1
0 − 11
⎞
⎠ b)
⎛
⎝
1 −10
12 1
11 0
⎞
⎠
c)
⎛
⎝
1
i −i
−i 1
i
i −i 1
⎞
⎠ d)
⎛
⎝
1+a
11
11 + b1
11
1+c
⎞
⎠
Systèmes d’équations linéaires
5 Résoudreles systèmes :
a)
⎧
⎨
⎩
2x +3y−2z = 5
x−2y+3z = 2
4x−y+4z = λ
b)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x − y + z − t = 1
x + y − z − t = −1
x + y + z − t = 0
x − y − z + t = 2
où λ est un paramètre réel.
c)
x − 2y + z − 3t = 1
2x + y − z + t = −1
d)
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x +2y−3z = 4
x+3y−z = 11
2x +5y−5z = 13
x +4y+z = 18
6
∗
Résoudre le système suivant en discutant suivant les valeurs
des paramètres a, b, c et d :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x + y + z + t
= 1
ax + by + cz + dt = 1
a
2 x + b
2 y + c
2 z + d
2 t = 1
a
3 x + b
3 y + c
3 z + d
3 t = 1
7 Résoudre le systèmesuivant en discutant suivant les valeurs
du paramètre complexe a :
⎧
⎨
⎩
x − ay + a
2 z = a
ax − a
2 y + az = 1
ax + y − a
3 z = 1
8 Deux systèmes voisinsont-ils des solutions voisines ?
⎧
⎨
⎩
10x +9y+z = −50
9x +10y+5z = 40
x +5y+9z = 180
⎧
⎨
⎩
10x +9y+z = −50
9x +10y+5z = 41
x +5y+9z = 180
9 Déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme f de
R
4 représenté dans la base canoniquepar la matrice :
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
011
1
101− 1
112
0
− 110
2
⎞
⎟
⎟
⎠
Exercices posés aux oraux des concours
10 (CCP 2006)
Soit E un R-espacevectoriel de dimension 4, et f un endomorphisme de E telque rg f = 3e tf
4 =0.
1) Montrer que f
2 = 0.En déduire une matrice simple représentantl’endomorphisme f .Ensupposant que f
3 = 0,trouver
unecontradiction.
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