Rang d’une matrice et systèmes linéaires
Exercice résolu
POLYGONE DONT LES MILIEUX DES CÔTÉS SONT FIXÉS
Soit n ∈ N
∗
. Discuter l’existence et l’unicité dans le plan d’un polygone ànc ôtés dont lesmilieux des côtés sont fixés. (On
pourra résoudre un système d’équations dans C.)
Interpréter géométriquement les résultats àl’aide de transformations du plan.
Conseils
Solution
Traduire l’énoncé par un système linéaire
et étudiersacompatibilité.
Soit a 1 , ··· ,a n les affixes des milieux fixés. On cherche les affixes
z 1 , ··· ,z n des sommets tels que :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
z 1 + z 2 = 2a 1
z 2 + z 3 = 2a 2
···
z n−1 +z n = 2a n−1
z n +z 1 = 2a n
En faisant la somme des lignes affectées de signes alternés, on obtient :
z 1
1+(−1)
n−1
= 2
a 1 − a 2 + ···+(−1)
n−1
a n
Si n esti mpair, le système admet une solution unique, quels que soient
les milieux fixés.
Si n est pair, il apparaît une relation de compatibilité :
a 1 − a 2 + ···+(−1)
n−1
a n = 0
Si les milieux choisisnevérifient pas cette relation, le système est incompatible et il n’y apas de solution.
S’ils vérifient cette relation, z 1 est une inconnue arbitraire. Il yadonc une
infinité de solutions :onpeut choisir arbitrairement le premier sommet et
en déduire les suivants.
Penser àutiliser des symétries centrales.
Géométriquement,d ésignons par I 1 , ··· ,I n les milieux fixés et par
s 1 , ··· ,s n les symétries centrales respectives par rapport àces points. Les
sommets M 1 , ··· ,M n doivent vérifier :
M 2 = s 1 (M 1 ) , M 3 = s 2 (M 2 ) , ··· , M n = s n−1 (M n−1 )etM 1 =s n (M n )
D’où M 1 =
s n ◦ s n−1 ◦···◦s 2 ◦s 1
(M 1 ).
• Si n estimpair, l’application s n ◦ s n−1 ◦···◦s 2 ◦s 1 est une symétrie
centrale.Lepoint M 1 doit en être le centre :ilyaune solution unique.
• Si n est pair, l’application s n ◦ s n−1 ◦···◦s 2 ◦s 1 est une translation.
Pour qu’il existe un point M 1 invariant par cette translation, il faut et il
suffit quecesoit l’identité, et alors tout point du plan convient :ilyadans
ce cas une infinité de solutions. Unecondition nécessaire et suffisantepour
que s n ◦ s n−1 ◦···◦s 2 ◦s 1 = Id est :
−−−→
M 1 M 2 +
−−−→
M 3 M 4 + ···+
−− −−−→
M n − 1 M n = 0
On peut vérifier qu’elle est bien équivalente àlarelation de compatibilité
trouvée plus haut pour le système.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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Exercice résolu
POLYGONE DONT LES MILIEUX DES CÔTÉS SONT FIXÉS
Soit n ∈ N
∗
. Discuter l’existence et l’unicité dans le plan d’un polygone ànc ôtés dont lesmilieux des côtés sont fixés. (On
pourra résoudre un système d’équations dans C.)
Interpréter géométriquement les résultats àl’aide de transformations du plan.
Conseils
Solution
Traduire l’énoncé par un système linéaire
et étudiersacompatibilité.
Soit a 1 , ··· ,a n les affixes des milieux fixés. On cherche les affixes
z 1 , ··· ,z n des sommets tels que :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
z 1 + z 2 = 2a 1
z 2 + z 3 = 2a 2
···
z n−1 +z n = 2a n−1
z n +z 1 = 2a n
En faisant la somme des lignes affectées de signes alternés, on obtient :
z 1
1+(−1)
n−1
= 2
a 1 − a 2 + ···+(−1)
n−1
a n
Si n esti mpair, le système admet une solution unique, quels que soient
les milieux fixés.
Si n est pair, il apparaît une relation de compatibilité :
a 1 − a 2 + ···+(−1)
n−1
a n = 0
Si les milieux choisisnevérifient pas cette relation, le système est incompatible et il n’y apas de solution.
S’ils vérifient cette relation, z 1 est une inconnue arbitraire. Il yadonc une
infinité de solutions :onpeut choisir arbitrairement le premier sommet et
en déduire les suivants.
Penser àutiliser des symétries centrales.
Géométriquement,d ésignons par I 1 , ··· ,I n les milieux fixés et par
s 1 , ··· ,s n les symétries centrales respectives par rapport àces points. Les
sommets M 1 , ··· ,M n doivent vérifier :
M 2 = s 1 (M 1 ) , M 3 = s 2 (M 2 ) , ··· , M n = s n−1 (M n−1 )etM 1 =s n (M n )
D’où M 1 =
s n ◦ s n−1 ◦···◦s 2 ◦s 1
(M 1 ).
• Si n estimpair, l’application s n ◦ s n−1 ◦···◦s 2 ◦s 1 est une symétrie
centrale.Lepoint M 1 doit en être le centre :ilyaune solution unique.
• Si n est pair, l’application s n ◦ s n−1 ◦···◦s 2 ◦s 1 est une translation.
Pour qu’il existe un point M 1 invariant par cette translation, il faut et il
suffit quecesoit l’identité, et alors tout point du plan convient :ilyadans
ce cas une infinité de solutions. Unecondition nécessaire et suffisantepour
que s n ◦ s n−1 ◦···◦s 2 ◦s 1 = Id est :
−−−→
M 1 M 2 +
−−−→
M 3 M 4 + ···+
−− −−−→
M n − 1 M n = 0
On peut vérifier qu’elle est bien équivalente àlarelation de compatibilité
trouvée plus haut pour le système.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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