Rang d’une matrice et systèmes linéaires
Puis on applique àlamatrice B la fonction rref.Onobtient un système triangulaire équivalent dont les solutions
se lisent d’elles-mêmes.
La dernière équation est une relation de compatibilité:le système admet des solutions si et seulement si a =
4
9
. Dans ce
cas l’inconnue z peut être choisie arbitrairement.O no btient
successivement :
t =
2
9
y =
4
9
− 2zx = −
1
9
+5z
Une solution particulière est
−
1
9
,
4
9
, 0,
2
9
.
Le noyau estV ect(5, −2, 1, 0).
ATTENTION
La calculatrice peut donner des résultatserronés si la matrice contient des
paramètres formels. Elle ne trouvera
pas les valeurs particulières de cesparamètres qui abaissent le rang.
Pour s’entraîner :ex. 5à8
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour déterminer le rang d’unematrice A ,onpeut:
• chercher la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs-colonnes de A ;
• chercher la dimension de l’image d’une application linéaire représentée par A ;
• chercher une matrice équivalente plus simple ;
• effectuer des opérations élémentairessur les lignes ou les colonnes de A pour obtenir une matriceéquivalente
de la forme T r (cf. exercices 2 et 3) .
Pour calculer l’inversed’une matrice carrée inversible A ,onpeut:
• effectuer simultanément sur les lignes de A et celles de I n les mêmes opérations élémentaires pour
transformer A en I n et I n en A
−1
(cf. exercice 4) ;
• résoudre le système d’équations AX = Y , pour obtenir X = A
−1
Y .
Pour résoudre un systèmelinéaire de n équationsà p inconnues :appliquer la méthode du pivot de Gauss.
Si le rangdusystème est r, on trouvera n − r relationsdecompatibilité qui ne dépendent pas des inconnues,
et p − r inconnues arbitraires en fonctiondesquelles on pourra exprimer toutes les autres (cf. exercices 5 à 8) .
...................................................................................................................................................................................................
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Puis on applique àlamatrice B la fonction rref.Onobtient un système triangulaire équivalent dont les solutions
se lisent d’elles-mêmes.
La dernière équation est une relation de compatibilité:le système admet des solutions si et seulement si a =
4
9
. Dans ce
cas l’inconnue z peut être choisie arbitrairement.O no btient
successivement :
t =
2
9
y =
4
9
− 2zx = −
1
9
+5z
Une solution particulière est
−
1
9
,
4
9
, 0,
2
9
.
Le noyau estV ect(5, −2, 1, 0).
ATTENTION
La calculatrice peut donner des résultatserronés si la matrice contient des
paramètres formels. Elle ne trouvera
pas les valeurs particulières de cesparamètres qui abaissent le rang.
Pour s’entraîner :ex. 5à8
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour déterminer le rang d’unematrice A ,onpeut:
• chercher la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs-colonnes de A ;
• chercher la dimension de l’image d’une application linéaire représentée par A ;
• chercher une matrice équivalente plus simple ;
• effectuer des opérations élémentairessur les lignes ou les colonnes de A pour obtenir une matriceéquivalente
de la forme T r (cf. exercices 2 et 3) .
Pour calculer l’inversed’une matrice carrée inversible A ,onpeut:
• effectuer simultanément sur les lignes de A et celles de I n les mêmes opérations élémentaires pour
transformer A en I n et I n en A
−1
(cf. exercice 4) ;
• résoudre le système d’équations AX = Y , pour obtenir X = A
−1
Y .
Pour résoudre un systèmelinéaire de n équationsà p inconnues :appliquer la méthode du pivot de Gauss.
Si le rangdusystème est r, on trouvera n − r relationsdecompatibilité qui ne dépendent pas des inconnues,
et p − r inconnues arbitraires en fonctiondesquelles on pourra exprimer toutes les autres (cf. exercices 5 à 8) .
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