Rang d’une matrice et systèmes linéaires
COURS
23
IMPORTANT
On peutê tre amené pour trouver un
pivot non nul àp ermuter des colonnes, ce qui revient àp ermuter les
inconnues. On ne retrouverad onc
pas nécessairement les inconnues dans
leur ordre initial.
On aboutit à:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1
0
. . .
. . .
p r
. . .
. . .
00
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
0
X
Y
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
y
1
y
2
. . .
. . .
y
n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
A
=
avec p 1 = 0, ··· , p r = 0. C’est-à-dire au système :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
p 1 x
1 + a
12 x
2 + ···
···+a
1p x
p
= y
1
p 2 x
2 +···
···+a
2p x
p
= y
2
···
···
···
p r x
r +···+a
rp x
p
= y
r
0 = y
r+1
···
···
0 = y
n
(Les x
1 , ··· ,x
p sont les inconnues éventuellement permutées.)
Les n − r dernières équations, qui ne font plus intervenir les inconnues, sont des
relations de compatibilité du système. Elles expriment les conditions portant sur
le second membre pour qu’il existe des solutions.
Les p − r dernières inconnues (dans leur nouvel ordre) peuvent être fixées arbitrairement. En remontant de la r-ième ligne àlapremière, on peut calculer les r
premières inconnues en fonction de ces p − r paramètres.
La fonction rref permet de résoudre un système d’équations linéaires par la méthode du pivot partiel. Il faut
d’abord construire une matrice B en adjoignant àlamatrice A une dernière colonne égale àc elle des seconds
membres.
Exemple:
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x+2y−z+t = 1
x+3y+z−t = 1
−x+y+7z+2t = 1
2x+y−8z+t = a
L 1 ←L 1
L 2 ←L 2 −L 1
L 3 ←L 3 +L 1
L 4 ←L 4 −2L 1
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x+2y−z+t = 1
y+2z−2t = 0
3y+6z+3t = 2
−3y−6z−t = a−2
L 1 ←L 1
L 2 ←L 2
L 3 ←L 3 −3L 2
L 4 ←L 4 +3L 2
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x+2y−z+t = 1
y+2z−2t = 0
9t = 2
−7t = a−2
L 1 ←L 1
L 2 ←L 2
L 3 ←L 3
L 4 ←9L 4 +7L 3
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
x+2y−z+t = 1
y+2z−2t = 0
9t = 2
0 = 9a−4
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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