COURS 23
Rang d’une matrice et systèmes linéaires
IMPORTANT
S est un sous-espace affine de E, de
direction Ker u.
Théorème 3
L’ensemble des solutions de l’équation linéaire u(x) = y ests oit vide, soit
l’ensembledécrit par la somme d’une solution particulière x 0 et d’une solution
quelconque de l’équation sans second membre ;c’est-à-dire :
S = ∅
ou
S = x 0 +Ker u
Démonstration
Supposons S non vide, soit x 0 ∈ S.
1) ∀x ∈ Su ( x ) = u ( x 0 ) = y ,
d’où
u(x − x 0 ) = 0 x − x 0 ∈ Ker u
S ⊂ x 0 +Ker u.
2) ∀t ∈ Ker uu ( x 0 + t ) = u ( x 0 ) = y , d’où x 0 + t ∈ Sx 0 +Ker u ⊂ S.
3.2 • Systèmes d’équationslinéaires
Le systèmede n équations à p inconnues dans le corps K :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ···+a 1p x p = y 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ···+a 2p x p = y 2
···
a n1 x 1 +a n2 x 2 +···+a np x p = y n
estUNE équation linéaire de la forme u(x) = y de K
p
dans K
p
, que l’onpeut
représenter matriciellement par AX = Y avec A ∈M np (K).
Soit r le rang de A.
• Si r = n, u est surjectif :lesystème ades solutions quel que soit le second
membre y.
• Si r < n, au contraire, le second membre doit vérifier certaines conditions
(dites de compatibilité) pour que le système admette des solutions.
• Si r = p, u est injectif :lasolution, si elle existe, estunique.
• Si r < p, au contraire, les solutions ne sont jamais uniques. On peut fixer
arbitrairement les valeurs de certaines inconnues et calculer les autres en fonction
de celles-là.
• Si r = n = p, u estb ijectif :p our tout second membre y, il yaune
solution unique u
−1
(y). On dit qu’il s’agit d’un systèmed eC ramer et sa
résolution estéquivalente au calcul de l’inverse de la matrice A.
3.3 • Résolution parlaméthode du pivot partiel
Soit le système d’équationslinéaires représenté matriciellement par AX = Y . On
peut effectuersimultanément sur les matrices A et Y les opérations élémentaires
sur lignes étudiées dans la détermination du rang.
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Rang d’une matrice et systèmes linéaires
IMPORTANT
S est un sous-espace affine de E, de
direction Ker u.
Théorème 3
L’ensemble des solutions de l’équation linéaire u(x) = y ests oit vide, soit
l’ensembledécrit par la somme d’une solution particulière x 0 et d’une solution
quelconque de l’équation sans second membre ;c’est-à-dire :
S = ∅
ou
S = x 0 +Ker u
Démonstration
Supposons S non vide, soit x 0 ∈ S.
1) ∀x ∈ Su ( x ) = u ( x 0 ) = y ,
d’où
u(x − x 0 ) = 0 x − x 0 ∈ Ker u
S ⊂ x 0 +Ker u.
2) ∀t ∈ Ker uu ( x 0 + t ) = u ( x 0 ) = y , d’où x 0 + t ∈ Sx 0 +Ker u ⊂ S.
3.2 • Systèmes d’équationslinéaires
Le systèmede n équations à p inconnues dans le corps K :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ···+a 1p x p = y 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ···+a 2p x p = y 2
···
a n1 x 1 +a n2 x 2 +···+a np x p = y n
estUNE équation linéaire de la forme u(x) = y de K
p
dans K
p
, que l’onpeut
représenter matriciellement par AX = Y avec A ∈M np (K).
Soit r le rang de A.
• Si r = n, u est surjectif :lesystème ades solutions quel que soit le second
membre y.
• Si r < n, au contraire, le second membre doit vérifier certaines conditions
(dites de compatibilité) pour que le système admette des solutions.
• Si r = p, u est injectif :lasolution, si elle existe, estunique.
• Si r < p, au contraire, les solutions ne sont jamais uniques. On peut fixer
arbitrairement les valeurs de certaines inconnues et calculer les autres en fonction
de celles-là.
• Si r = n = p, u estb ijectif :p our tout second membre y, il yaune
solution unique u
−1
(y). On dit qu’il s’agit d’un systèmed eC ramer et sa
résolution estéquivalente au calcul de l’inverse de la matrice A.
3.3 • Résolution parlaméthode du pivot partiel
Soit le système d’équationslinéaires représenté matriciellement par AX = Y . On
peut effectuersimultanément sur les matrices A et Y les opérations élémentaires
sur lignes étudiées dans la détermination du rang.
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