Rang d’une matrice et systèmes linéaires
COURS
23
Exemple :
A=
⎛
⎝
1
2
1
2
1
0
−1
0
2
⎞
⎠ I 3 =
⎛
⎝
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎞
⎠
L 1 ←L 1
L 2 ←L 2 −2L 1
L 3 ←L 3 −L 1
⎛
⎝
1
0
0
2
−3
−2
−1
2
3
⎞
⎠
⎛
⎝
1
−2
−1
0
1
0
0
0
1
⎞
⎠
L 1 ←L 1
L 2 ←L 2
L 3 ←3L 3 −2L 2
⎛
⎝
1
0
0
2
−3
0
−1
2
5
⎞
⎠
⎛
⎝
1
−2
1
0
1
−2
0
0
3
⎞
⎠
L 1 ←5L 1 +L 3
L 2 ←5L 2 −2L 3
L 3 ←L 3
⎛
⎝
5
0
0
10
−15
0
0
0
5
⎞
⎠
⎛
⎝
6
−12
1
−2
9
−2
3
−6
3
⎞
⎠
L 1 ← 3L 1 +2L 2
L 2 ←L 2
L 3 ←L 3
⎛
⎝
15
0
0
0
−15
0
0
0
5
⎞
⎠
⎛
⎝
−6
−12
1
12
9
−2
−3
−6
3
⎞
⎠
L 1 ← L 1 /15
L 2 ←−L 2 /15
L 3 ← L 3 /5
⎛
⎝
1
0
0
0
1
0
0
0
1
⎞
⎠
1
5
⎛
⎝
−2
4
1
4
−3
−2
−1
2
3
⎞
⎠ = A
−1
Pour s’entraîner :ex. 4
3 Équations linéaires
3.1 • Structuredel’ensemble des solutions
Soit E et F deux K-espacesvectoriels. On appelle équation linéaire une équation de la forme :
u(x) = y (1)
où u est une application linéaire de E dans F et y un élément donné de F ,
appelé second membre.
L’ensemble des solutions de l’équation (1) est donc l’ensemble des antécédents
de y par u :
S = u
−1
({y})
On appelle équation sans second membre associée à (1),l’équation :
u(x) = 0 (2)
L’ensemble des solutions de (2) est Ker u.
Exemple:L’équation différentielle y
+ xy
− y = sin x est linéaire : E et F sont
l’ensemble C
∞
(R, R), u estl’application f
→ f
+xf
−f et le second membre
est la fonction sinus. L’équation sans second membre associée est y
+xy
−y = 0.
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
425