COURS 23
Rang d’une matrice et systèmes linéaires
La TI-92/Voyage 200 ne possède pas de fonction donnant
directement le rangd’une matrice. Il est facile de construire
une fonction rang en comptant le nombred el ignes non
nulles de ref(A) :
rang(a)
Func
Local n,p,i,j,nul
rowDim(a) → n
colDim(a) → p
ref(a) → a
n → i
true → nul
While nul and i > 0
For j,1,p
If not(a[i,j]=0) Then
false → nul
EndIf
EndFor
i-1 → i
EndWhile
If nul Then
0
Else
i+1
EndIf
EndFunc
L 1 ← L 1
L 2 ← L 2 − 2L 1
L 3 ← L 3 − L 1
L 4 ← L 4 + L 1
L 5 ← L 5 + L 1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
−1
1
1
2
0
1
−1
−1
−2
1
−2
0
−2
2
0
1
2
5
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
L 1 ← L 1
L 2 ← L 2
L 3 ← L 3 + L 2
L 4 ← L 4 + L 2
L 5 ← L 5 +2L 2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
−1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
−2
−2
−4
−2
0
1
3
6
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Comme il est impossible de trouver un pivot dans la troisième colonne, on effectue une permutation circulaire des trois dernières
colonnes :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
−1
0
0
0
1
−2
−2
−4
−2
0
1
3
6
3
0
1
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
L 1 ← L 1
L 2 ← L 2
L 3 ← L 3
L 4 ← L 4 − 2L 3
L 5 ← L 5 − L 3
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
−1
0
0
0
1
−2
−2
0
0
0
1
3
0
0
0
1
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Cette dernière matrice estdelaforme T 3 . Le rang de A est donc 3.
Pours’entraîner :ex. 2et3
2.3• Calcul de l’inverse d’une matrice carrée inversible
Dans le caso ùl am atrice A est carrée inversible,l am atrice T n obtenue par
la méthode du pivot est triangulaire supérieure avec des coefficientsd iagonaux
non nuls. On peut alors se ramener par équivalence àlamatrice I n , uniquement
par des combinaisons de lignes :i ls uffit de réappliquer la méthode du pivot en
commençant par la dernière ligne, puis de diviser chaque ligne par son pivot.
A −→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1
0 p 2
X
. . .
. . .
0 ··· 0 p n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
−→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1 0 ··· 0
0 p 2
. . .
. . .
. . . 0
0 ··· 0 p n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
−→
I n
Ce faisant, en effectuant seulement des opérations élémentaires sur les lignes,
on am ultiplié A àg auche par une matrice inversible Q pour obtenir I n :
QA = I n . La matrice Q est donc l’inverse de A.
Pour la calculer, il suffit d’appliquer les mêmes opérations sur les lignes de I n , car
QI n = Q = A
−1
. Dans la pratique, on mène en parallèle lesd eux calculs. En
mêmetemps que l’on transforme A en I n , on transforme I n en A
−1
.
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Rang d’une matrice et systèmes linéaires
La TI-92/Voyage 200 ne possède pas de fonction donnant
directement le rangd’une matrice. Il est facile de construire
une fonction rang en comptant le nombred el ignes non
nulles de ref(A) :
rang(a)
Func
Local n,p,i,j,nul
rowDim(a) → n
colDim(a) → p
ref(a) → a
n → i
true → nul
While nul and i > 0
For j,1,p
If not(a[i,j]=0) Then
false → nul
EndIf
EndFor
i-1 → i
EndWhile
If nul Then
0
Else
i+1
EndIf
EndFunc
L 1 ← L 1
L 2 ← L 2 − 2L 1
L 3 ← L 3 − L 1
L 4 ← L 4 + L 1
L 5 ← L 5 + L 1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
−1
1
1
2
0
1
−1
−1
−2
1
−2
0
−2
2
0
1
2
5
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
L 1 ← L 1
L 2 ← L 2
L 3 ← L 3 + L 2
L 4 ← L 4 + L 2
L 5 ← L 5 +2L 2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
−1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
−2
−2
−4
−2
0
1
3
6
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Comme il est impossible de trouver un pivot dans la troisième colonne, on effectue une permutation circulaire des trois dernières
colonnes :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
−1
0
0
0
1
−2
−2
−4
−2
0
1
3
6
3
0
1
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
L 1 ← L 1
L 2 ← L 2
L 3 ← L 3
L 4 ← L 4 − 2L 3
L 5 ← L 5 − L 3
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
−1
0
0
0
1
−2
−2
0
0
0
1
3
0
0
0
1
0
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Cette dernière matrice estdelaforme T 3 . Le rang de A est donc 3.
Pours’entraîner :ex. 2et3
2.3• Calcul de l’inverse d’une matrice carrée inversible
Dans le caso ùl am atrice A est carrée inversible,l am atrice T n obtenue par
la méthode du pivot est triangulaire supérieure avec des coefficientsd iagonaux
non nuls. On peut alors se ramener par équivalence àlamatrice I n , uniquement
par des combinaisons de lignes :i ls uffit de réappliquer la méthode du pivot en
commençant par la dernière ligne, puis de diviser chaque ligne par son pivot.
A −→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1
0 p 2
X
. . .
. . .
0 ··· 0 p n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
−→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1 0 ··· 0
0 p 2
. . .
. . .
. . . 0
0 ··· 0 p n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
−→
I n
Ce faisant, en effectuant seulement des opérations élémentaires sur les lignes,
on am ultiplié A àg auche par une matrice inversible Q pour obtenir I n :
QA = I n . La matrice Q est donc l’inverse de A.
Pour la calculer, il suffit d’appliquer les mêmes opérations sur les lignes de I n , car
QI n = Q = A
−1
. Dans la pratique, on mène en parallèle lesd eux calculs. En
mêmetemps que l’on transforme A en I n , on transforme I n en A
−1
.
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