Rang d’une matrice et systèmes linéaires
COURS
23
• Si tous lescoefficients de la première colonne sont nuls, on effectue une permutation de colonnes pour obtenir une première colonne non nulle.
• S’il existe dans la première colonne un coefficientnon nul a i1 (appelépivot),
on échangeles lignes 1e ti .
On obtient donc une matrice A
= (a
ij )d ont le coefficientdelapremière ligne,
première colonne, a
11 = p 1 , est non nul.
On retrancheensuite de chaque ligne L i pour i ∈ [[ 2 , n ]] la 1
re
ligne multipliée
par a
i1 /p 1 .
On annule ainsi tous les coefficients situés sous le pivot :
L 1
L 2
. . .
L n
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1 a
12
··· a
1p
a
21
a
22
··· a
2p
. . .
. . .
. . .
a
n1
a
n2
··· a
np
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
−→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1 a
12
··· a
1p
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
L 1
L 2 −
a
21
p 1
L 1
···
L n −
a
n1
p 1
L 1
B
La fonction ref(A) donneu ne matrice équivalente àl a
matrice A, de la forme Tr àc ecip rès qu’iln ’y ap as
de permutationdecolonnes. Les pivots sont tous ramenés
à1 .L af onction rref(A) donne un résultat équivalent,
mais encore plus simplifié. Nous l’utiliserons plus loin pour
résoudre les systèmes d’équations linéaires.
Si la matrice B constituée des n − 1d ernières lignes et p − 1
dernières colonnes n’est pas nulle, on peut lui appliquer le même
procédé (bien sûr, si des permutations de colonnes sont nécessaires, elles doivent porter sur la matrice toute entière).
On répète l’opération r fois, jusqu’à ce que la matrice constituée
des n − r dernières lignes et p − r dernières colonnes soit nulle
(si r = n, il ne reste pas de ligne nulle, et si r = p, il ne reste
pas de colonne nulle) :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1
0
. . .
. . .
p r
. . .
. . .
00
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
0
X
p 1 = 0 ··· p r = 0
T r =
Le rang de la matrice estalors r. En effet, en appliquant la même méthode àla
transposée de T r (sans nécessiter d’échanges de lignes ou de colonnes, puisque les
pivots sont déjà en place), et en divisantchacune des r premières lignes par son
pivot, on aboutiraità J pnr .
Le rang de A estl en ombre de pivots successifs permettant d’aboutir àl a
forme T r .
Exemple :
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
1
−1
−1
1
1
2
0
1
0
1
−1
−1
−2
1
0
1
−3
1
0
1
2
5
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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COURS
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• Si tous lescoefficients de la première colonne sont nuls, on effectue une permutation de colonnes pour obtenir une première colonne non nulle.
• S’il existe dans la première colonne un coefficientnon nul a i1 (appelépivot),
on échangeles lignes 1e ti .
On obtient donc une matrice A
= (a
ij )d ont le coefficientdelapremière ligne,
première colonne, a
11 = p 1 , est non nul.
On retrancheensuite de chaque ligne L i pour i ∈ [[ 2 , n ]] la 1
re
ligne multipliée
par a
i1 /p 1 .
On annule ainsi tous les coefficients situés sous le pivot :
L 1
L 2
. . .
L n
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1 a
12
··· a
1p
a
21
a
22
··· a
2p
. . .
. . .
. . .
a
n1
a
n2
··· a
np
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
−→
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1 a
12
··· a
1p
0
. . .
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
L 1
L 2 −
a
21
p 1
L 1
···
L n −
a
n1
p 1
L 1
B
La fonction ref(A) donneu ne matrice équivalente àl a
matrice A, de la forme Tr àc ecip rès qu’iln ’y ap as
de permutationdecolonnes. Les pivots sont tous ramenés
à1 .L af onction rref(A) donne un résultat équivalent,
mais encore plus simplifié. Nous l’utiliserons plus loin pour
résoudre les systèmes d’équations linéaires.
Si la matrice B constituée des n − 1d ernières lignes et p − 1
dernières colonnes n’est pas nulle, on peut lui appliquer le même
procédé (bien sûr, si des permutations de colonnes sont nécessaires, elles doivent porter sur la matrice toute entière).
On répète l’opération r fois, jusqu’à ce que la matrice constituée
des n − r dernières lignes et p − r dernières colonnes soit nulle
(si r = n, il ne reste pas de ligne nulle, et si r = p, il ne reste
pas de colonne nulle) :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
p 1
0
. . .
. . .
p r
. . .
. . .
00
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
0
X
p 1 = 0 ··· p r = 0
T r =
Le rang de la matrice estalors r. En effet, en appliquant la même méthode àla
transposée de T r (sans nécessiter d’échanges de lignes ou de colonnes, puisque les
pivots sont déjà en place), et en divisantchacune des r premières lignes par son
pivot, on aboutiraità J pnr .
Le rang de A estl en ombre de pivots successifs permettant d’aboutir àl a
forme T r .
Exemple :
A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
1
−1
−1
1
1
2
0
1
0
1
−1
−1
−2
1
0
1
−3
1
0
1
2
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1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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