COURS 23
Rang d’une matrice et systèmes linéaires
L’opération Li ← kLi s’obtient par:mRow(k,A,i).
On peutannuler l’effet de cette opération en multipliant la ligne
i par
1
k
, c’est-à-dire que M i
1
k
M i (k) = I n , donc M i (k)
estinversible. La multiplication d’une ligne par un scalaire non
nul conserve donc le rang.
Addition d’uneligne àune autre L i ← L i + L j
Ajouter la ligne j àl al igne i d’unem atrice A de M np (K)
revient àlamultiplier àgauche par une matrice A ij , obtenue en
ajoutant la ligne j àlaligne i de la matrice I n :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
··· 1 ··· 1 ···
··· 0 ··· 1 ···
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
a i1 ··· a ip
···
···
a j1 ··· a jp
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
a i1 +a j1 ··· a ip + a jp
···
···
a j1
···
a jp
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
i
j
ij
L’opération Li ← Li + Lj s’obtient par:rowAdd(A,j,i).
On peutannuler l’effet de cette opération en retranchant la ligne
j de la ligne i, c’est-à-dire que :
M j (−1)A ij M j (−1)A ij = I n
donc A ij est inversible. L’addition d’une ligne àune autre
conserve donc le rang.
On peut combiner cestrois opérations élémentaires pour :
• ajouter àune ligne une combinaison linéaire des autres ;
• remplacer une ligne par une combinaisonlinéaire de toutes les
lignes, àc ondition que le coefficient de la ligne elle-même soit
non nul.
L’opération Li ← Li + kLj s’obtientp ar : mRowAdd(k,A,j,i).
On ne peut faires imultanément plusieurs opérations élémentaires que si l’on estsûr qu’on pourrait les faire successivement.
Par exemple, on peut de chaque ligne jusqu’à l’avant-dernière
retrancher la suivante, et conserver la dernière. Mais une transformation telle que :
(L 1 , L 2 , L 3 ) ← (L 1 −L 2 , L 2 −L 3 , L 3 −L 1 )
n’est pas possible et risquerait d’abaisser le rang.
Remarque :D’après ce qui aété dit àpropos du rang de la transposée, leso pérations élémentaires peuvent aussi bien être effectuées
sur lesc olonnes ques ur les lignes. Elles correspondent alors àd es
multiplications àdroite par des matrices inversibles.
2.2 • Méthodedupivot de Gauss
Voyons maintenantcomment agencer les opérations élémentaires sur les lignes (ou
les colonnes) d’une matrice pour déterminer son rang.
Soit A = (a ij ) i∈[[ 1 , n ]] j ∈ [[ 1 , p ]] une matrice non nulle de M np (K).
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