Rang d’une matrice et systèmes linéaires
COURS
23
IMPORTANT
Ce résultat au ne conséquence pratique très intéressante :d ans la recherche du rang, on peut indifféremment travailler surles lignes ou surles
colonnes de la matrice, puisqueles colonnes de A sont les lignes de
t
A et
vice versa.
Or
t
J npr = J pnr . Donc
t
A =
t
PJ pnr
t
Q
−1
. Ainsi
t
A estéquivalente à J pnr , et
son rang estdonc r.
∀A ∈M np (K)r g
t
A = rg A
2 Opérations conservant le rang
2.1 • Opérations élémentaires
Pour qu’une opération surles lignes (ou les colonnes) d’une matrice conserve son
rang, il faut et il suffitqu’elle la transforme en une matrice équivalente, c’est-à-dire
qu’ellec orresponde àu ne multiplication àg auche ou àd roite par une matrice
inversible. Nous allons voir trois exemples très simples de telles opérations, qu’il
suffira ensuite de combiner pour aboutir àlamatrice J npr .
Échangededeux lignes L i ↔ L j
Échanger les lignes i et j d’une matrice A de M np (K)r evient àlamultiplier
àg auche par une matrice L ij , obtenue en échangeant les lignes i et j de la
matrice I n :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
··· 0 ··· 1 ···
··· 1 ··· 0 ···
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
a i1 a i2 ··· a ip
···
···
a j1 a j2 ··· a jp
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
a j1 a j2 ··· a jp
···
···
a i1 a i2 ··· a ip
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
i
j
ij
L’opération Li ↔ Lj s’obtient par:rowSwap(A,i,j).
Il est clairqu’on peut annuler l’effet de cette opération en échangeant àn ouveau les lignes i et j, c’est-à-dire que L
2
ij = I n ;
donc L ij est inversible.
L’échange de deux lignes conserve donc le rang.
Multiplication d’une ligne par un scalaire nonnul
L i ← kL i
Multiplier la ligne i d’une matrice A de M np (K)p ar un
scalaire k
= 0r evient àlamultiplier àgauche par une matrice
M i (k), obtenuee nm ultipliant par k la ligne i de la matrice
I n :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
. . .
k
. . .
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
a i1 a i2 ··· a ip
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
ka i1 ka i2 ··· ka ip
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
i
i
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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IMPORTANT
Ce résultat au ne conséquence pratique très intéressante :d ans la recherche du rang, on peut indifféremment travailler surles lignes ou surles
colonnes de la matrice, puisqueles colonnes de A sont les lignes de
t
A et
vice versa.
Or
t
J npr = J pnr . Donc
t
A =
t
PJ pnr
t
Q
−1
. Ainsi
t
A estéquivalente à J pnr , et
son rang estdonc r.
∀A ∈M np (K)r g
t
A = rg A
2 Opérations conservant le rang
2.1 • Opérations élémentaires
Pour qu’une opération surles lignes (ou les colonnes) d’une matrice conserve son
rang, il faut et il suffitqu’elle la transforme en une matrice équivalente, c’est-à-dire
qu’ellec orresponde àu ne multiplication àg auche ou àd roite par une matrice
inversible. Nous allons voir trois exemples très simples de telles opérations, qu’il
suffira ensuite de combiner pour aboutir àlamatrice J npr .
Échangededeux lignes L i ↔ L j
Échanger les lignes i et j d’une matrice A de M np (K)r evient àlamultiplier
àg auche par une matrice L ij , obtenue en échangeant les lignes i et j de la
matrice I n :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
··· 0 ··· 1 ···
··· 1 ··· 0 ···
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
a i1 a i2 ··· a ip
···
···
a j1 a j2 ··· a jp
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
a j1 a j2 ··· a jp
···
···
a i1 a i2 ··· a ip
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
i
j
ij
L’opération Li ↔ Lj s’obtient par:rowSwap(A,i,j).
Il est clairqu’on peut annuler l’effet de cette opération en échangeant àn ouveau les lignes i et j, c’est-à-dire que L
2
ij = I n ;
donc L ij est inversible.
L’échange de deux lignes conserve donc le rang.
Multiplication d’une ligne par un scalaire nonnul
L i ← kL i
Multiplier la ligne i d’une matrice A de M np (K)p ar un
scalaire k
= 0r evient àlamultiplier àgauche par une matrice
M i (k), obtenuee nm ultipliant par k la ligne i de la matrice
I n :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
. . .
k
. . .
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
a i1 a i2 ··· a ip
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
···
···
ka i1 ka i2 ··· ka ip
···
···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
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⎠
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Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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