COURS 23
Rang d’une matrice et systèmes linéaires
Une matrice A
∈M np (K)e st équivalente à A si et seulement s’il existe deux
matrices inversibles P ∈GL n (K)e tQ∈GL p (K)t elles que A
= PAQ. On ne
change donc paslerang d’une matrice en la multipliant àdroite ou àgauche par des
matrices inversibles. C’est ce que nous utiliserons plus loin pour la détermination
pratique du rang.
Montrons qu’une matrice de M np (K)e st équivalente àune matrice très simple,
uniquement caractérisée par son rang. Soit A une matrice de M np (K)d erang r,
et u l’application linéaire de K
p
dans K
n
canoniquementassociée. Cherchons
des bases mieux appropriées pour représenter u.
Soit G un supplémentaire de Ker u dans K
p
:d ’après le théorème du rang,
dim G = r. Soit (e 1 , ··· ,e r )u ne base de G et (e r+1 , ··· ,e p )u ne base de
Ker u. Alors b = (e 1 , ··· ,e p )e st une basede K
p
.
Montrons que la famille (u(e 1 ), ··· ,u(e r )) est libre dans K
n
:
si
r
i=1
α i u(e i ) = 0, u
r
i=1
α i e i
= 0, c’est-à-dire
r
i=1
α i e i ∈ (Ker u) ∩ G.
Comme (Ker u) ∩ G = {0},
r
i=1
α i e i = 0; ce qui implique, du fait que
(e 1 , ··· ,e r )e st libre, que α i = 0p our tout i ∈ [[ 1 , r ]] .
On peut donc compléter la famille (u(e 1 ), ··· ,u(e r )) en une base
b
= (u(e 1 ), ··· ,u(e r ),e
r+1 , ··· ,e
n )d eK
n
.
La matrice de u dans les bases b et b
s’écrit :
M
b
b (u) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
10···
··· 0
01···
. . .
. . .
. . .
. . .
1
. . .
0
0 ···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
✲
✛
r
✲
✛ p−r
❄
✻
r
❄
✻
n−r
Cette matrice (m ij ), à n lignes et p colonnes dont tous les coefficients sont nuls
sauf les m ii pour i ∈ [[ 1 , r ]] qui valent 1, estn otée J npr . Il résulte de cette
étude que toute matrice de rang r de M np (K)e st équivalente à J npr . Deux
matrices de M np (K)d emême rang sont donc équivalentes :c’est la réciproque
du corollaire 1.1. On peut donc affirmer :
Théorème 2
Deux matrices de M np (K)s ont équivalentes si et seulement si elles ontlemême
rang.
1.3 • Rangdelatransposée
IMPORTANT
Il existe des matrices inversibles
P ∈GL p (K)e tQ∈GL n (K)t elles
que:
A=Q
− 1 JnprP.
Soit A ∈M np (K), de rang r. A étant équivalente à J npr , il existe des matrices
inversibles P ∈GL p (K)e tQ∈GL n (K)t elles que A = Q
−1
J npr P.
En transposantcette égalité, on obtient
t
A =
t
P
t
J npr
t
Q
−1
.
420
Rang d’une matrice et systèmes linéaires
Une matrice A
∈M np (K)e st équivalente à A si et seulement s’il existe deux
matrices inversibles P ∈GL n (K)e tQ∈GL p (K)t elles que A
= PAQ. On ne
change donc paslerang d’une matrice en la multipliant àdroite ou àgauche par des
matrices inversibles. C’est ce que nous utiliserons plus loin pour la détermination
pratique du rang.
Montrons qu’une matrice de M np (K)e st équivalente àune matrice très simple,
uniquement caractérisée par son rang. Soit A une matrice de M np (K)d erang r,
et u l’application linéaire de K
p
dans K
n
canoniquementassociée. Cherchons
des bases mieux appropriées pour représenter u.
Soit G un supplémentaire de Ker u dans K
p
:d ’après le théorème du rang,
dim G = r. Soit (e 1 , ··· ,e r )u ne base de G et (e r+1 , ··· ,e p )u ne base de
Ker u. Alors b = (e 1 , ··· ,e p )e st une basede K
p
.
Montrons que la famille (u(e 1 ), ··· ,u(e r )) est libre dans K
n
:
si
r
i=1
α i u(e i ) = 0, u
r
i=1
α i e i
= 0, c’est-à-dire
r
i=1
α i e i ∈ (Ker u) ∩ G.
Comme (Ker u) ∩ G = {0},
r
i=1
α i e i = 0; ce qui implique, du fait que
(e 1 , ··· ,e r )e st libre, que α i = 0p our tout i ∈ [[ 1 , r ]] .
On peut donc compléter la famille (u(e 1 ), ··· ,u(e r )) en une base
b
= (u(e 1 ), ··· ,u(e r ),e
r+1 , ··· ,e
n )d eK
n
.
La matrice de u dans les bases b et b
s’écrit :
M
b
b (u) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
10···
··· 0
01···
. . .
. . .
. . .
. . .
1
. . .
0
0 ···
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
✲
✛
r
✲
✛ p−r
❄
✻
r
❄
✻
n−r
Cette matrice (m ij ), à n lignes et p colonnes dont tous les coefficients sont nuls
sauf les m ii pour i ∈ [[ 1 , r ]] qui valent 1, estn otée J npr . Il résulte de cette
étude que toute matrice de rang r de M np (K)e st équivalente à J npr . Deux
matrices de M np (K)d emême rang sont donc équivalentes :c’est la réciproque
du corollaire 1.1. On peut donc affirmer :
Théorème 2
Deux matrices de M np (K)s ont équivalentes si et seulement si elles ontlemême
rang.
1.3 • Rangdelatransposée
IMPORTANT
Il existe des matrices inversibles
P ∈GL p (K)e tQ∈GL n (K)t elles
que:
A=Q
− 1 JnprP.
Soit A ∈M np (K), de rang r. A étant équivalente à J npr , il existe des matrices
inversibles P ∈GL p (K)e tQ∈GL n (K)t elles que A = Q
−1
J npr P.
En transposantcette égalité, on obtient
t
A =
t
P
t
J npr
t
Q
−1
.
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