Rang d’une matrice et systèmes linéaires
COURS
23
1 Rang d’une matrice
1.1 • Rang desapplications linéaires représentées
parune même matrice
E 1
u 1
u 2
E 2
F 2
F 1
ψ
ϕ
Doc. 1 Deux applications linéaires
représentées par la même matrice.
Soit A une matrice de M np (K). A peut représenter diverses applications linéaires entre divers espaces vectoriels relativement àdiverses bases. Montrons que
le rang de ces applications linéaires esti ndépendant du choix de ces espaces vectoriels et de ces bases :i ln ed épend que de la matrice et on peut l’appeler rang
de A.
0 rg (A) min(n, p)
Théorème 1
Deux applications linéaires susceptibles d’être représentées par la même matrice
ont le même rang.
Démonstration
Soit A ∈M np (K). Soit E 1 et E 2 deux K-espaces vectorielsdedimension p,
munis de bases respectives b 1 et b 2 ; F 1 et F 2 deux K-espacesv ectoriels de
dimension n munis de bases respectives b
1 et b
2 . Soit u 1 l’applicationlinéaire
de E 1 dans F 1 représentéed ans les bases b 1 et b
1 par la matrice A ; u 2
l’application linéaire de E 2 dans F 2 représentéedans les bases b 2 et b
2 par la
matrice A.
M
b1
b
1
(u 1 ) = M
b2
b
2
(u 2 ) = A
Soit ϕ l’isomorphisme de E 1 dans E 2 transformantl ab ase b 1 en b 2 et ψ
l’isomorphisme de F 1 dans F 2 transformantlabase b
1 en b
2 . Les coordonnées
dans b
1 des vecteurs de la famille u 1 (b 1 )é tant les mêmes que celles dans b
2 des
vecteurs de la famille u 2 (b 2 ), on a:
ψ◦u 1 =u 2 ◦ϕ
On en déduit que :
ψ(Im u 1 ) = Im (ψ ◦ u 1 ) = Im (u 2 ◦ ϕ) = Im (u 2 )
La restriction de ψ àI mu 1 est un isomorphisme de Im u 1 dans Im u 2 .
D’où rg (u 1 ) = rg (u 2 ).
En particulier, le rang de A est le rang de l’applicationl inéaire canoniquement
associée, c’est-à-dire aussi le rang de la familledevecteurs de K
n
constituée par
les colonnes de A, appelés vecteurs colonnes de A.
IMPORTANT
Les paragraphes 1.2 et 1.3n e
sont pas au programme des étudiants
de PTSI qui n’ont pas choisi l’option
PSI.
1.2 • Rangdes matrices équivalentes
Corollaire 1.1
Deux matrices équivalentes ontlemême rang.
Démonstration
Soit A et B deux matrices de M np (K), u 0 et v 0 les applications linéaires qui
leur sont canoniquement associées. Si A et B sont équivalentes, elles représentent
par ailleurs une mêmea pplication linéaire u dansd ’autres bases. D’après le
théorème,
rg (u 0 ) = rg (u) = rg (A)etrg(v 0 )=rg (u) = rg (B) , d’où rg (A) = rg (B).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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1 Rang d’une matrice
1.1 • Rang desapplications linéaires représentées
parune même matrice
E 1
u 1
u 2
E 2
F 2
F 1
ψ
ϕ
Doc. 1 Deux applications linéaires
représentées par la même matrice.
Soit A une matrice de M np (K). A peut représenter diverses applications linéaires entre divers espaces vectoriels relativement àdiverses bases. Montrons que
le rang de ces applications linéaires esti ndépendant du choix de ces espaces vectoriels et de ces bases :i ln ed épend que de la matrice et on peut l’appeler rang
de A.
0 rg (A) min(n, p)
Théorème 1
Deux applications linéaires susceptibles d’être représentées par la même matrice
ont le même rang.
Démonstration
Soit A ∈M np (K). Soit E 1 et E 2 deux K-espaces vectorielsdedimension p,
munis de bases respectives b 1 et b 2 ; F 1 et F 2 deux K-espacesv ectoriels de
dimension n munis de bases respectives b
1 et b
2 . Soit u 1 l’applicationlinéaire
de E 1 dans F 1 représentéed ans les bases b 1 et b
1 par la matrice A ; u 2
l’application linéaire de E 2 dans F 2 représentéedans les bases b 2 et b
2 par la
matrice A.
M
b1
b
1
(u 1 ) = M
b2
b
2
(u 2 ) = A
Soit ϕ l’isomorphisme de E 1 dans E 2 transformantl ab ase b 1 en b 2 et ψ
l’isomorphisme de F 1 dans F 2 transformantlabase b
1 en b
2 . Les coordonnées
dans b
1 des vecteurs de la famille u 1 (b 1 )é tant les mêmes que celles dans b
2 des
vecteurs de la famille u 2 (b 2 ), on a:
ψ◦u 1 =u 2 ◦ϕ
On en déduit que :
ψ(Im u 1 ) = Im (ψ ◦ u 1 ) = Im (u 2 ◦ ϕ) = Im (u 2 )
La restriction de ψ àI mu 1 est un isomorphisme de Im u 1 dans Im u 2 .
D’où rg (u 1 ) = rg (u 2 ).
En particulier, le rang de A est le rang de l’applicationl inéaire canoniquement
associée, c’est-à-dire aussi le rang de la familledevecteurs de K
n
constituée par
les colonnes de A, appelés vecteurs colonnes de A.
IMPORTANT
Les paragraphes 1.2 et 1.3n e
sont pas au programme des étudiants
de PTSI qui n’ont pas choisi l’option
PSI.
1.2 • Rangdes matrices équivalentes
Corollaire 1.1
Deux matrices équivalentes ontlemême rang.
Démonstration
Soit A et B deux matrices de M np (K), u 0 et v 0 les applications linéaires qui
leur sont canoniquement associées. Si A et B sont équivalentes, elles représentent
par ailleurs une mêmea pplication linéaire u dansd ’autres bases. D’après le
théorème,
rg (u 0 ) = rg (u) = rg (A)etrg(v 0 )=rg (u) = rg (B) , d’où rg (A) = rg (B).
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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