EXERCICES
22
Matrices
9
∗ Soit E
np
ij la matrice de M np (K)c omportant un 1à
la i -ième ligne, j -ième colonne et des 0p artout ailleurs.
Calculer le produit E
np
ij E
pq
kl .
10
∗
Déterminer le centre de l’anneau M n (K), c’est-à-dire
l’ensemble des matrices carréesd’ordre n qui commutent
avec toute matrice carrée d’ordre n.
(Onpourra se servir des matrices E ij définies dans l’exercice
précédent.)
11
∗
Soit A ∈M n ( K )t elle que la matrice I n + A soit
inversible. On pose :
B = (I n − A)(I n + A)
−1
1) Montrer que B = (I n + A)
−1
(I n − A).
2) Montrer que I n + B est inversible et exprimer A en
fonction de B.
Matrice d’une application linéaire
12 Déterminer les matrices relativement aux bases canoniques des applicationslinéaires suivantes :
a)
R
3
→
R
2
(x, y, z)
→ (x − y , y − z)
b)
R
3
→
R
(x, y, z) → x − 5y +4z
c)
R 2 [X ] →
R 2 [X ]
P
→ P − XP
d)
R 3 [X ] →
R
3
P
→ (P(−1), P(0), P(1))
13 Soit E un espace vectorieldedimension n 1e tf
un endomorphisme de E telque f
n−1
= 0e tf
n
=0 .
Soit x ∈ E tel que f
n−1
(x) = 0. Montrerque la famille
(x, f (x), f
2
(x), ··· ,f
n−1
(x)) est une base de E.
Écrire la matrice de f danscette base.
14 Soit f l’endomorphisme de R
3
dontlamatrice dans
la base canonique est :
A =
⎛
⎝
2 −1 −1
−12 − 1
− 1 − 12
⎞
⎠
Déterminer Ker f et Im f . Démontrer que ces deux
sous-espaces sont supplémentairesd ans R
3
. En déduire
une base de R
3
, réunion d’une base de Ker f et d’une
base de Im f . Écrire la matrice de f dansc ette base.
Décrire f comme la composée de deuxendomorphismes
très simples.
15 Soit A =
ac
bd
∈M 2 (K).
Àt oute matrice X ∈M 2 ( K ) , on associe la matrice
f A (X ) = AX . Montrerq ue f A estu ne ndomorphisme
de l’espace vectoriel M 2 (K). Écrire la matrice de f A dans
la base canonique (E 11 , E 21 , E 12 , E 22 )d eM 2 ( K ) .
16 Soit A ∈M n , p (K). Démontrer que :
1)
(∃A
∈M p , n (K) AA
= I n ) = ⇒ n p
2)
(∃A
∈M p , n (K) A
A = I p ) =⇒ n p
Que peut-on en déduire lorsque n
= p ?
Montrerque lorsque n = p, AA
= I n ⇐⇒ A
A = I n .
17 Soit A ∈M n , p (K)e tB∈M p , n (K), avec n = p.
Montrerq ue les matrices carrées AB et BA ne sont pas
toutes deux inversibles.
18
∗
Soit P ∈G L n ( K ) . Démontrer que l’application de
M n (K)d ans lui-même : A
→ P
−1
AP est un automorphisme d’espace vectorieletd’anneau.
En déduire que s’il existe un polynôme Q annulant la matrice A (c’est-à-dire tel que Q(A) = 0), alors Q annule
aussi toute matrice semblable à A.
19
∗
Montrerq ue les matrices A =
32
43
et
B =
01
− 16
sont semblables.
20
∗
Soit A = (a ij ) ∈M n (C)u ne matrice carrée àcoefficients complexes telle que :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]]
2
| a ij | <
1
n
Démontrer que la matrice I n + A est inversible.
Transposition
21 Soit A ∈M mn (R).
1) Démontrer que
A
t
A = 0 =⇒ A = 0.
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Matrices
9
∗ Soit E
np
ij la matrice de M np (K)c omportant un 1à
la i -ième ligne, j -ième colonne et des 0p artout ailleurs.
Calculer le produit E
np
ij E
pq
kl .
10
∗
Déterminer le centre de l’anneau M n (K), c’est-à-dire
l’ensemble des matrices carréesd’ordre n qui commutent
avec toute matrice carrée d’ordre n.
(Onpourra se servir des matrices E ij définies dans l’exercice
précédent.)
11
∗
Soit A ∈M n ( K )t elle que la matrice I n + A soit
inversible. On pose :
B = (I n − A)(I n + A)
−1
1) Montrer que B = (I n + A)
−1
(I n − A).
2) Montrer que I n + B est inversible et exprimer A en
fonction de B.
Matrice d’une application linéaire
12 Déterminer les matrices relativement aux bases canoniques des applicationslinéaires suivantes :
a)
R
3
→
R
2
(x, y, z)
→ (x − y , y − z)
b)
R
3
→
R
(x, y, z) → x − 5y +4z
c)
R 2 [X ] →
R 2 [X ]
P
→ P − XP
d)
R 3 [X ] →
R
3
P
→ (P(−1), P(0), P(1))
13 Soit E un espace vectorieldedimension n 1e tf
un endomorphisme de E telque f
n−1
= 0e tf
n
=0 .
Soit x ∈ E tel que f
n−1
(x) = 0. Montrerque la famille
(x, f (x), f
2
(x), ··· ,f
n−1
(x)) est une base de E.
Écrire la matrice de f danscette base.
14 Soit f l’endomorphisme de R
3
dontlamatrice dans
la base canonique est :
A =
⎛
⎝
2 −1 −1
−12 − 1
− 1 − 12
⎞
⎠
Déterminer Ker f et Im f . Démontrer que ces deux
sous-espaces sont supplémentairesd ans R
3
. En déduire
une base de R
3
, réunion d’une base de Ker f et d’une
base de Im f . Écrire la matrice de f dansc ette base.
Décrire f comme la composée de deuxendomorphismes
très simples.
15 Soit A =
ac
bd
∈M 2 (K).
Àt oute matrice X ∈M 2 ( K ) , on associe la matrice
f A (X ) = AX . Montrerq ue f A estu ne ndomorphisme
de l’espace vectoriel M 2 (K). Écrire la matrice de f A dans
la base canonique (E 11 , E 21 , E 12 , E 22 )d eM 2 ( K ) .
16 Soit A ∈M n , p (K). Démontrer que :
1)
(∃A
∈M p , n (K) AA
= I n ) = ⇒ n p
2)
(∃A
∈M p , n (K) A
A = I p ) =⇒ n p
Que peut-on en déduire lorsque n
= p ?
Montrerque lorsque n = p, AA
= I n ⇐⇒ A
A = I n .
17 Soit A ∈M n , p (K)e tB∈M p , n (K), avec n = p.
Montrerq ue les matrices carrées AB et BA ne sont pas
toutes deux inversibles.
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∗
Soit P ∈G L n ( K ) . Démontrer que l’application de
M n (K)d ans lui-même : A
→ P
−1
AP est un automorphisme d’espace vectorieletd’anneau.
En déduire que s’il existe un polynôme Q annulant la matrice A (c’est-à-dire tel que Q(A) = 0), alors Q annule
aussi toute matrice semblable à A.
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∗
Montrerq ue les matrices A =
32
43
et
B =
01
− 16
sont semblables.
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∗
Soit A = (a ij ) ∈M n (C)u ne matrice carrée àcoefficients complexes telle que :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]]
2
| a ij | <
1
n
Démontrer que la matrice I n + A est inversible.
Transposition
21 Soit A ∈M mn (R).
1) Démontrer que
A
t
A = 0 =⇒ A = 0.
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