Exercices
1 Vraioufaux ?
a) M np (K)e st un K-espace vectorieldedimension np.
b) M np (K)e st un anneau.
c) GL n (K)e st un sous-espace vectoriel de M n (K).
d) Soit A ∈M n ( K ) . S’il existe A
∈M n ( K )t elle que
AA
= I n , alors A
A = I n .
e) Unem atrice représentant un isomorphisme dans des
bases quelconques estinversible.
f) La matrice de passage d’une base b àune base b
est la
matricedel’identité relativement à b en tant que base de
départ, et b
en tant que base d’arrivée.
g) Deux matrices semblables sont équivalentes.
h) Deux matrices carrées équivalentes sont semblables.
i) La transposée du produit AB est le produit
t
A
t
B.
j) Toutematrice carrée estdefaçon unique la somme d’une
matricesymétrique et d’une matrice antisymétrique.
Structure d’unensemble
de matrices
2 Soit E l’ensemble des matrices de M 2 (K)d el a
forme :
A =
a + bb
− ba − b
où (a, b) ∈ K
2
1) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 2 (K);
en donner une base.
2) Montrer que E est un anneauc ommutatif. Est-ce un
corps ?
3) Déterminer les diviseurs de zéro de E.
4) Déterminer le groupe des éléments inversiblesde E.
3 Soit E l’ensemble des matrices de M 2 (R)d el a
forme :
A =
a − b
ba
où (a, b) ∈ R
2
1) Démontrer que E estuncorps isomorphe à C.
2) En déduire le calcul de la matrice suivante, pour tout
n ∈ Z :
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
n
4 Soit E l’ensemble des matrices de M 3 (K)d el a
forme :
A =
⎛
⎝
ab
c
3 ca − 3 cb
3 b 3 c − 3 ba − 3 c
⎞
⎠ où (a, b, c) ∈ K
3
1) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 3 (K);
en donner une base.
2) Montrer que E est un anneaucommutatif.
Puissances d’unematrice carrée
5 Calculer A
n
pourtout n ∈ N :
a) A =
1 − 1
− 11
b) A =
ab
0a
c) A =
11
02
d) A =
12
21
e) A =
⎛
⎝
011
101
110
⎞
⎠
6 On considère la matrice :
A =
⎛
⎝
01 − sin θ
− 10
cos θ
− sin θ cos θ
0
⎞
⎠
Calculer A
3
. En déduire( I 3 +A )
n
pour n 3.
7 On considèrelamatrice :
A =
75
− 6 − 4
1) Calculer la matrice A
2
− 3A +2I 2 .
2) En déduire que A est inversible et déterminer A
−1
.
3) Soit n un entier supérieur ou égal à2 .D éterminer
le rested el ad ivision euclidienne du polynôme X
n
par
X
2
− 3X +2.
4) En déduire la matrice A
n
.
Calculsdans l’anneau
des matrices carrées
8 Soit A une matrice carrée d’ordre n nilpotente,
c’est-à-dire qu’il existe un entier p telque A
p
= 0. Montrer que la matrice I n − A est inversiblee tp réciser son
inverse.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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1 Vraioufaux ?
a) M np (K)e st un K-espace vectorieldedimension np.
b) M np (K)e st un anneau.
c) GL n (K)e st un sous-espace vectoriel de M n (K).
d) Soit A ∈M n ( K ) . S’il existe A
∈M n ( K )t elle que
AA
= I n , alors A
A = I n .
e) Unem atrice représentant un isomorphisme dans des
bases quelconques estinversible.
f) La matrice de passage d’une base b àune base b
est la
matricedel’identité relativement à b en tant que base de
départ, et b
en tant que base d’arrivée.
g) Deux matrices semblables sont équivalentes.
h) Deux matrices carrées équivalentes sont semblables.
i) La transposée du produit AB est le produit
t
A
t
B.
j) Toutematrice carrée estdefaçon unique la somme d’une
matricesymétrique et d’une matrice antisymétrique.
Structure d’unensemble
de matrices
2 Soit E l’ensemble des matrices de M 2 (K)d el a
forme :
A =
a + bb
− ba − b
où (a, b) ∈ K
2
1) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 2 (K);
en donner une base.
2) Montrer que E est un anneauc ommutatif. Est-ce un
corps ?
3) Déterminer les diviseurs de zéro de E.
4) Déterminer le groupe des éléments inversiblesde E.
3 Soit E l’ensemble des matrices de M 2 (R)d el a
forme :
A =
a − b
ba
où (a, b) ∈ R
2
1) Démontrer que E estuncorps isomorphe à C.
2) En déduire le calcul de la matrice suivante, pour tout
n ∈ Z :
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
n
4 Soit E l’ensemble des matrices de M 3 (K)d el a
forme :
A =
⎛
⎝
ab
c
3 ca − 3 cb
3 b 3 c − 3 ba − 3 c
⎞
⎠ où (a, b, c) ∈ K
3
1) Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M 3 (K);
en donner une base.
2) Montrer que E est un anneaucommutatif.
Puissances d’unematrice carrée
5 Calculer A
n
pourtout n ∈ N :
a) A =
1 − 1
− 11
b) A =
ab
0a
c) A =
11
02
d) A =
12
21
e) A =
⎛
⎝
011
101
110
⎞
⎠
6 On considère la matrice :
A =
⎛
⎝
01 − sin θ
− 10
cos θ
− sin θ cos θ
0
⎞
⎠
Calculer A
3
. En déduire( I 3 +A )
n
pour n 3.
7 On considèrelamatrice :
A =
75
− 6 − 4
1) Calculer la matrice A
2
− 3A +2I 2 .
2) En déduire que A est inversible et déterminer A
−1
.
3) Soit n un entier supérieur ou égal à2 .D éterminer
le rested el ad ivision euclidienne du polynôme X
n
par
X
2
− 3X +2.
4) En déduire la matrice A
n
.
Calculsdans l’anneau
des matrices carrées
8 Soit A une matrice carrée d’ordre n nilpotente,
c’est-à-dire qu’il existe un entier p telque A
p
= 0. Montrer que la matrice I n − A est inversiblee tp réciser son
inverse.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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