Matrices
Exercice résolu
SUITES MUTUELLEMENT RÉCURRENTES
Soit (x n ), (y n ) et (z n ) trois suitesréelles définies par leurs premiers termes x 0 , y 0 , z 0 et les relations de récurrence :
∀n ∈ N
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x n+1 =
2
3
x n +
1
6
y n +
1
6
z n
y n+1 =
1
6
x n +
2
3
y n +
1
6
z n
z n+1 =
1
6
x n +
1
6
y n +
2
3
z n
Étudierlaconvergence de ces trois suites.
Conseils
Solution
On peut écrire les formules de récurrence sous forme matricielle :
⎛
⎜
⎜
⎝
x n+1
y n+1
z n+1
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
3
1
6
1
6
1
6
2
3
1
6
1
6
1
6
2
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
x n
y n
z n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Soit, en abrégé : X n+1 = AX n . On montre facilement par récurrence que
∀n ∈ N X n = A
n
X 0 . Il nous faut donc calculer la matrice A
n
.
Peut-onutiliser une autre décomposition
de A ?
Notons pour cela que A =
1
2
I +
1
6
J , où :
I =
⎛
⎝
100
010
001
⎞
⎠ et J =
⎛
⎝
111
111
111
⎞
⎠
Attention : La formuledubinôme n’est
pas toujours applicable dans M 3 (R).
Comme I et J commutent, on peut appliquer la formule du binôme :
A
n
=
n
k=0
n
k
1
6
J
k 1
2
I
n−k
Écrire la matrice A
n
.
On vérifiepar récurrence que ∀k ∈ N
∗
J
k
= 3
k−1
J . Il faut distinguer
le cas k = 0, où J
0
= I .
Si n 1 A
n
=
1
2 n I +
n
k=1
n
k
1
6 k ·
1
2 n−k ·3
k−1
J =
1
2 n I +
1
3 · 2 n
n
k=1
n
k
J
D’où :
A
n
=
1
2 n I +
1
3
·
2
n
− 1
2 n J ceci pour tout n ∈ N .
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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