Matrices
L’applicationT re st donc bien une forme linéaire sur
M n (K).
2) Tr(AB) =
n
i=1
n
j=1
a ij b ji
=
n
j=1
n
i=1
b ji a ij
= Tr(BA).
3) Si A et B sont semblables, il existe P ∈GL n (K)
tel que B = PAP
−1
.
On aalors :
Tr(B) = Tr(PAP
−1
) = Tr(P
−1
PA) = Tr(A).
Deux matrices semblables ontlamême trace.
La réciproque est fausse :u ne matrice de trace nulle
n’est pas nécessairement semblable àl am atrice nulle
(c’est-à-dire également nulle) !
4) Si E étaitd ed imension n (n ∈ N
∗
), les matrices A et B représentant f et g dans une base de
E vérifieraient:
AB − BA = I n
Or Tr(AB−BA) = Tr(AB)−Tr(BA) = 0, tandis que
Tr(I n ) = n. On aboutitdonc àune contradiction.
L’égalité fg − gf = Id E est, en revanche,p ossible
dans un espace vectorielq ui n’est pas de dimension
finie, par exemple dans K[X ]a vec:
f : P → P
et g : P → XP
pour tout polynôme P :
(fg − gf )(P) = (XP)
− XP
= (P + XP
) − XP
= P
............................................................................................................ MÉTHODE
Pour calculer lespuissances d’une matrice carrée,onpeut:
• conjecturer le résultat àpartir des premiers exposants, puis vérifier par récurrence
(cf. exercice 5a )b)c));
• décomposer la matrice en une somme de deux matrices qui commutent et dont on calcule plus facilement les
puissances ;utiliser ensuite la formule du binôme
(cf. Application 2, Exercice résolu,exercices 5d )e)et 6) ;
• chercher une matrice plus simple semblableàla matrice donnée (cf. Application 3) ;
• chercher un polynôme P qui annule la matrice donnée( P ( A )=0), et effectuer la division euclidienne de
P par X
n
(cf. exercice 7) .
Pour représenter uneapplication linéaire par unematrice,ilfaut :
• choisirdes bases dans les e.v. de départ et d’arrivée ;
• écrire en colonnes les coordonnées des images des éléments de la base de départ relativementàlabase d’arrivée
(cf. exercices 12, 13 et 15 ).
Pourmontrer qu’une matrice carrée A est inversible,onpeut:
• chercher une matrice carrée B telle que AB = I n (cf.exercice 11) ;
• montrer que A représente un isomorphismerelativement àune base donnée (cf. exercices 17 et 20) .
...................................................................................................................................................................................................
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L’applicationT re st donc bien une forme linéaire sur
M n (K).
2) Tr(AB) =
n
i=1
n
j=1
a ij b ji
=
n
j=1
n
i=1
b ji a ij
= Tr(BA).
3) Si A et B sont semblables, il existe P ∈GL n (K)
tel que B = PAP
−1
.
On aalors :
Tr(B) = Tr(PAP
−1
) = Tr(P
−1
PA) = Tr(A).
Deux matrices semblables ontlamême trace.
La réciproque est fausse :u ne matrice de trace nulle
n’est pas nécessairement semblable àl am atrice nulle
(c’est-à-dire également nulle) !
4) Si E étaitd ed imension n (n ∈ N
∗
), les matrices A et B représentant f et g dans une base de
E vérifieraient:
AB − BA = I n
Or Tr(AB−BA) = Tr(AB)−Tr(BA) = 0, tandis que
Tr(I n ) = n. On aboutitdonc àune contradiction.
L’égalité fg − gf = Id E est, en revanche,p ossible
dans un espace vectorielq ui n’est pas de dimension
finie, par exemple dans K[X ]a vec:
f : P → P
et g : P → XP
pour tout polynôme P :
(fg − gf )(P) = (XP)
− XP
= (P + XP
) − XP
= P
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Pour calculer lespuissances d’une matrice carrée,onpeut:
• conjecturer le résultat àpartir des premiers exposants, puis vérifier par récurrence
(cf. exercice 5a )b)c));
• décomposer la matrice en une somme de deux matrices qui commutent et dont on calcule plus facilement les
puissances ;utiliser ensuite la formule du binôme
(cf. Application 2, Exercice résolu,exercices 5d )e)et 6) ;
• chercher une matrice plus simple semblableàla matrice donnée (cf. Application 3) ;
• chercher un polynôme P qui annule la matrice donnée( P ( A )=0), et effectuer la division euclidienne de
P par X
n
(cf. exercice 7) .
Pour représenter uneapplication linéaire par unematrice,ilfaut :
• choisirdes bases dans les e.v. de départ et d’arrivée ;
• écrire en colonnes les coordonnées des images des éléments de la base de départ relativementàlabase d’arrivée
(cf. exercices 12, 13 et 15 ).
Pourmontrer qu’une matrice carrée A est inversible,onpeut:
• chercher une matrice carrée B telle que AB = I n (cf.exercice 11) ;
• montrer que A représente un isomorphismerelativement àune base donnée (cf. exercices 17 et 20) .
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