Matrices
COURS
22
A est dite antisymétrique si
t
A = −A, c’est-à-dire si :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]]
2
a ji = −a ij
(les coefficients symétriques par rapport àladiagonale sont opposés ;enparticulier,
les coefficients diagonaux sont nuls).
IMPORTANT
On aurait pu aussid émontrer que
Sn(K) ∩An(K)={0} et que :
dim Sn(K) =
n(n +1)
2
dim An(K) =
n(n − 1)
2
puis montrer quel as omme de ces
deux dimensions est celle de Mn(K),
c’est-à-dire n
2 .
Théorème 5
Si K estu ns ous-corps de C ,l ’ensemble S n (K)d es matrices symétriques et
l’ensemble A n (K)d es matrices antisymétriques sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires de M n (K).
IMPORTANT
T est un endomorphisme involutifd e M n ( K ) , c’est donc une symétrie.C ’est précisément la symétrie
parrapport à Sn(K)p arallèlement à
An(K).
Démonstration
Soit T l’endomorphisme de M n (K): A →
t
A. On remarque que S n (K)
est le noyau de T − Id et A n (K)l enoyau de T +Id. Ce sont donc bien des
sous-espaces vectoriels de M n (K).
Montrons que leur intersection estlesingleton nul. Soit A une matrice carrée à
la fois symétrique et antisymétrique :
t
A = A = −A , d’où A = 0. Montrons
ensuite que toute matrice carrée estlasomme d’une matrice symétrique et d’une
matriceantisymétrique :
∀A ∈M n (K) A=
1
2
(A+
t
A)+
1
2
(A−
t
A)
Or
t
1
2
(A +
t
A)
=
1
2
(
t
A + A): la matrice
1
2
(A +
t
A)e st symétrique.
t
1
2
(A −
t
A)
=
1
2
(
t
A − A): la matrice
1
2
(A −
t
A)e st antisymétrique.
Pour s’entraîner:ex. 22
APPLICATION 4
Traced’une matrice carrée
Soit A = (a ij ) ∈M n ( K ) . On appelle trace de Al a
somme de ses coefficients diagonaux :
Tr(A) =
n
i=1
a ii
1) Montrer quel’application Tr est uneforme linéaire
sur M n (K).
2) Montrer que
∀(A, B) ∈M n (K)
2
Tr(AB) = Tr(BA).
3) En déduireq ue deux matrices carrées semblables ont
la même trace. La réciproque est-elle vraie ?
4) Soit Eu n K -espace vectoriel non réduit à {0}, et f ,
gd eux endomorphismes de Et els que fg −gf =Id E .
Démontrer que En ’est pas de dimension finie. Donner
un exemple.
1) Soit A = (a ij )e tB=( b ij )d euxm atricesd e
M n ( K )e tα , βdeux scalaires.
Tr(αA + βB) =
n
i=1
(αa ii + βb ii )
= α
n
i=1
a ii + β
n
i=1
b ii
= α Tr(A)+βTr(B)
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
411
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A est dite antisymétrique si
t
A = −A, c’est-à-dire si :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]]
2
a ji = −a ij
(les coefficients symétriques par rapport àladiagonale sont opposés ;enparticulier,
les coefficients diagonaux sont nuls).
IMPORTANT
On aurait pu aussid émontrer que
Sn(K) ∩An(K)={0} et que :
dim Sn(K) =
n(n +1)
2
dim An(K) =
n(n − 1)
2
puis montrer quel as omme de ces
deux dimensions est celle de Mn(K),
c’est-à-dire n
2 .
Théorème 5
Si K estu ns ous-corps de C ,l ’ensemble S n (K)d es matrices symétriques et
l’ensemble A n (K)d es matrices antisymétriques sont des sous-espaces vectoriels
supplémentaires de M n (K).
IMPORTANT
T est un endomorphisme involutifd e M n ( K ) , c’est donc une symétrie.C ’est précisément la symétrie
parrapport à Sn(K)p arallèlement à
An(K).
Démonstration
Soit T l’endomorphisme de M n (K): A →
t
A. On remarque que S n (K)
est le noyau de T − Id et A n (K)l enoyau de T +Id. Ce sont donc bien des
sous-espaces vectoriels de M n (K).
Montrons que leur intersection estlesingleton nul. Soit A une matrice carrée à
la fois symétrique et antisymétrique :
t
A = A = −A , d’où A = 0. Montrons
ensuite que toute matrice carrée estlasomme d’une matrice symétrique et d’une
matriceantisymétrique :
∀A ∈M n (K) A=
1
2
(A+
t
A)+
1
2
(A−
t
A)
Or
t
1
2
(A +
t
A)
=
1
2
(
t
A + A): la matrice
1
2
(A +
t
A)e st symétrique.
t
1
2
(A −
t
A)
=
1
2
(
t
A − A): la matrice
1
2
(A −
t
A)e st antisymétrique.
Pour s’entraîner:ex. 22
APPLICATION 4
Traced’une matrice carrée
Soit A = (a ij ) ∈M n ( K ) . On appelle trace de Al a
somme de ses coefficients diagonaux :
Tr(A) =
n
i=1
a ii
1) Montrer quel’application Tr est uneforme linéaire
sur M n (K).
2) Montrer que
∀(A, B) ∈M n (K)
2
Tr(AB) = Tr(BA).
3) En déduireq ue deux matrices carrées semblables ont
la même trace. La réciproque est-elle vraie ?
4) Soit Eu n K -espace vectoriel non réduit à {0}, et f ,
gd eux endomorphismes de Et els que fg −gf =Id E .
Démontrer que En ’est pas de dimension finie. Donner
un exemple.
1) Soit A = (a ij )e tB=( b ij )d euxm atricesd e
M n ( K )e tα , βdeux scalaires.
Tr(αA + βB) =
n
i=1
(αa ii + βb ii )
= α
n
i=1
a ii + β
n
i=1
b ii
= α Tr(A)+βTr(B)
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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