COURS 22
Matrices
Adjointe d’unematrice
La TI-92/Voyage 200 permet de transposer une matrice
réelle (ilfaut écrire A
T ).
Attention : Pour une matrice àc oefficients complexes,
cette fonction donne la conjuguée de la transposée (qui
est appelée matriceadjointe).
Théorème 3
L’application
M np (K) →M pn (K)
A
→
t
A
est un isomorphisme d’espace vectoriel.
Démonstration
On montre facilementq ue cette application estl inéaire :
∀(A, B) ∈M np (K)
2 ∀(α, β) ∈ K
2
t
(αA+βB) = α
t
A+β
t
B
Par ailleurs, toute matrice C de M pn (K)e st la transposée
d’une unique matrice de M np (K), qui est
t
C :n otre application est donc bijective.
6.2 • Transposée d’un produit
IMPORTANT
Attention àl’ordre !
Théorème 4
Pour toutes matrices A ∈M np (K)e tB∈M pq (K):
t
(AB) =
t
B
t
A
Démonstration
Posons A = (a ij ), B = (b ij )e tAB = (c ij ).
t
A = (a
ij ),
t
B = (b
ij ),
t
(AB) = (c
ij ),
t
B
t
A = (d ij ).
c
ij = c ji =
p
k=1
a jk b ki =
p
k=1
b
ik a
kj = d ij
,d’où
t
(AB) =
t
B
t
A.
Corollaire 4.1
La transposée d’une matrice carrée inversible est inversible et :
t
(A
−1
) = (
t
A)
−1
Démonstration
Soit A ∈GL n ( K ) . En transposant l’égalité AA
−1
= A
−1
A = I n , on obtient :
t
(A
−1
)
t
A =
t
A
t
(A
−1
) =
t
I n = I n .
t
(A
−1
)e st donc l’inverse de
t
A.
Pour s’entraîner:ex. 21
6.3 • Matrices carrées symétriques et antisymétriques
Soit A = (a ij ) ∈M n (K)u ne matrice carrée.
A est dite symétrique si
t
A = A, c’est-à-dire si :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]]
2
a ji = a ij
(les coefficients symétriques par rapport àladiagonale sont égaux).
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