Matrices
COURS
22
APPLICATION 3
Un exemple de réduction de matrice
Soit ul ’endomorphisme de R
3
représenté dans la base
canoniquebpar la matrice :
A =
⎛
⎝
0 −11
12 − 3
11 − 2
⎞
⎠
1) Déterminer les s.e.v. Ker u, Ker( u−Id) et
Ker(u+Id).
2) En déduire unebase b
de R
3
dans laquelle la matrice Dr eprésentant l’endomorphisme us oit diagonale.
3) Exprimer Ae nfonction de D.
4) En déduire A
n
pour tout n ∈ N
∗
1) Soit X =
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠ .
AX = 0
⇐⇒
x = y = z , d’où :
Ker u = Vect
(1, 1, 1)
AX = X
⇐⇒
x = − y et z = 0, d’où :
Ker(u−Id) = Vect
(1, −1, 0)
AX = −X
⇐⇒
x = 0e ty=z ,d’où :
Ker(u+Id E )=Vect
(0, 1, 1)
2) La famille b
= (e
1 , e
2 , e
3 )o ù e
1 = (1, 1, 1),
e
2 = (1, −1, 0) et e
3 = (0, 1, 1) est unebase de R
3
.
Comme u(e
1 ) = 0, u(e
2 ) = e
2 et u(e
3 ) = −e
3 , la
matrice représentant u dans cette base est:
D=
⎛
⎝
00
0
01
0
00− 1
⎞
⎠
3) La matrice de passage de b à b
est:
P=
⎛
⎝
11 0
1 − 11
10 1
⎞
⎠
Son inverse est :
P
−1
=
⎛
⎝
11 − 1
0 − 11
− 1 − 12
⎞
⎠
On a D = P
−1
AP , d’où A = PDP
−1
.
4) On en déduit : ∀n ∈ N
∗
A
n
= PD
n
P
− 1
• Si n estimpair, D
n
= D, d’où A
n
= A.
• Si n est pair : D
n
=
⎛
⎝
000
010
001
⎞
⎠
d’où :
A
n
= A
2
=
⎛
⎝
0 −11
− 10 1
− 1 − 12
⎞
⎠
6Transposition
6.1 • Transposée d’une matrice
Soit A ∈M np (K). On appelle transposée de A la matriced e M pn (K)d ont
les lignes sont les colonnes de A et vice versa.
Si :
A = (a ij ) ,
t
A = (a
ij )
où :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , p ]] × [[ 1 , n ]] a
ij = a ji
Exemple:
t
135
246
=
⎛
⎝
12
34
56
⎞
⎠
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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