COURS 22
Matrices
5.2 • Effet d’un changement de bases sur la matrice d’une
application linéaire
Soit E un K-espace vectoriel muni de deux bases b 1 et b
1 , P la matrice de
passage de b 1 à b
1 , et F un K-espace vectoriel muni de deux bases b 2 et b
2 ,
Q la matrice de passage de b 2 à b
2 .
Soit f une application linéairede E dans F ;o npeut la représenter matriciellement dans chacun des systèmes de bases :
A = M
b1
b2 (f )
A
= M
b
1
b
2
(f )
En remarquantque
f = Id F ◦ f ◦ Id E ,
on peut écrire :
M
b
1
b
2
(f ) = M
b2
b
2
(Id F ) M
b1
b2 (f ) M
b
1
b1 (Id E )
C’est-à-dire:
A
=Q
− 1
AP
Deux matrices A et A
de M np (K), telles qu’il existe P ∈G L p ( K )e t
Q∈G L n ( K )v érifiant A
= Q
−1
AP, sont dites équivalentes.E ni nterprétant P et Q comme des matrices de passage, on voit que deux matrices sont
équivalentess ie ts eulement si elles représentent une même application linéaire
dans des bases différentes.
5.3 • Effet d’unchangement de bases sur la matrice
d’un endomorphisme
ATTENTION
Il ne fautpas confondre les notions de
matrices équivalentes et matrices semblables. Tout d’abord, cette dernière
ne concerne que lesm atrices carrées.
Ensuite, s’il est clair que deux matrices
carréess emblables sont équivalentes,
la réciproqueest fausse :deux matrices
carréesé quivalentes représentent un
même endomorphismed ’un espace
vectoriel E dans des systèmes de
bases où l’on ne choisit pas nécessairement la même base pour décrire l’espace de départ et l’espace d’arrivée. Par
exemple, n’importe quelle matrice inversible d’ordre n est équivalente à
In, tandis quel as eule matrice semblable à In est In elle-même.
Soit E un K-espace vectoriel muni de deux bases b et b
, et P la matrice de
passage de b à b
. Soit u un endomorphismed e E;o np eut le représenter
matriciellementdans chacune des bases (en choisissant àchaque fois la même base
pour E en tant qu’espace de départ et en tant qu’espaced’arrivée) :
A = M b (u)e tA
= M b ( u )
On peut reprendre le même calcul que pour une application linéaire quelconque,
en remarquant qu’ici Q = P.
D’où :
A
= P
−1
AP
Deux matrices A et A
de M n (K), telles qu’il existe P ∈GL n ( K )v érifiant
A
= P
−1
AP, sont dites semblables.E ninterprétant P commeune matrice de
passage, on voit quedeux matrices carrées sont semblables si et seulement si elles
représentent un mêmee ndomorphisme dans deux bases, prises simultanément
comme base de départ et d’arrivée.
Pours’entraîner :ex. 18 et 19
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Matrices
5.2 • Effet d’un changement de bases sur la matrice d’une
application linéaire
Soit E un K-espace vectoriel muni de deux bases b 1 et b
1 , P la matrice de
passage de b 1 à b
1 , et F un K-espace vectoriel muni de deux bases b 2 et b
2 ,
Q la matrice de passage de b 2 à b
2 .
Soit f une application linéairede E dans F ;o npeut la représenter matriciellement dans chacun des systèmes de bases :
A = M
b1
b2 (f )
A
= M
b
1
b
2
(f )
En remarquantque
f = Id F ◦ f ◦ Id E ,
on peut écrire :
M
b
1
b
2
(f ) = M
b2
b
2
(Id F ) M
b1
b2 (f ) M
b
1
b1 (Id E )
C’est-à-dire:
A
=Q
− 1
AP
Deux matrices A et A
de M np (K), telles qu’il existe P ∈G L p ( K )e t
Q∈G L n ( K )v érifiant A
= Q
−1
AP, sont dites équivalentes.E ni nterprétant P et Q comme des matrices de passage, on voit que deux matrices sont
équivalentess ie ts eulement si elles représentent une même application linéaire
dans des bases différentes.
5.3 • Effet d’unchangement de bases sur la matrice
d’un endomorphisme
ATTENTION
Il ne fautpas confondre les notions de
matrices équivalentes et matrices semblables. Tout d’abord, cette dernière
ne concerne que lesm atrices carrées.
Ensuite, s’il est clair que deux matrices
carréess emblables sont équivalentes,
la réciproqueest fausse :deux matrices
carréesé quivalentes représentent un
même endomorphismed ’un espace
vectoriel E dans des systèmes de
bases où l’on ne choisit pas nécessairement la même base pour décrire l’espace de départ et l’espace d’arrivée. Par
exemple, n’importe quelle matrice inversible d’ordre n est équivalente à
In, tandis quel as eule matrice semblable à In est In elle-même.
Soit E un K-espace vectoriel muni de deux bases b et b
, et P la matrice de
passage de b à b
. Soit u un endomorphismed e E;o np eut le représenter
matriciellementdans chacune des bases (en choisissant àchaque fois la même base
pour E en tant qu’espace de départ et en tant qu’espaced’arrivée) :
A = M b (u)e tA
= M b ( u )
On peut reprendre le même calcul que pour une application linéaire quelconque,
en remarquant qu’ici Q = P.
D’où :
A
= P
−1
AP
Deux matrices A et A
de M n (K), telles qu’il existe P ∈GL n ( K )v érifiant
A
= P
−1
AP, sont dites semblables.E ninterprétant P commeune matrice de
passage, on voit quedeux matrices carrées sont semblables si et seulement si elles
représentent un mêmee ndomorphisme dans deux bases, prises simultanément
comme base de départ et d’arrivée.
Pours’entraîner :ex. 18 et 19
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