Matrices
COURS
22
5 Changement de bases
5.1 • Effetd’un changement de bases
sur lescoordonnées d’un vecteur
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1, muni de deux bases
b = (e 1 , ··· ,e n )e tb
=( e
1 , ··· ,e
n ). Soit x un vecteur de E ;o np eut
le représenter dans chacune des bases par une matrice unicolonne :
Si x =
n
i=1
ξ i e i =
n
i=1
ξ
i e
i
M b (x) = X =
⎛
⎜
⎝
ξ 1
. . .
ξ n
⎞
⎟
⎠ et M b (x) = X
=
⎛
⎜
⎝
ξ
1
. . .
ξ
n
⎞
⎟
⎠
Comme x = Id E (x), on peut écrire :
M b (x) = M
b
b (Id E ) M b (x)
C’est-à-dire :
X = PX
où P est la matrice représentant l’identité de E relativement aux bases b
au
départ et b àl’arrivée. La j -ièmecolonne de P représente lescoordonnées de
e
j danslabase b. Cette matrice P estappelée matrice de passage de la base b
àlabase b
(attention àl’ordre !).
Comme elle représente l’identité, une matrice de passageest inversible. L’inverse
de la matricedepassage de b à b
est la matrice de passage de b
à b.
Réciproquement, toutematrice de GL n (K)p eut être considérée comme la matrice
de passage de la base canonique de K
n
dans la base constituée des vecteurs
colonnes.
IMPORTANT
Quand on effectue le changement de
base de b à b
, on appellevolontiers
b «ancienne base »e t b
«nouvelle
base ». La matrice de passage donne les
coordonnéesd es vecteurs de la nouvellebase dans l’ancienne base, ce qui
correspond bien àceque l’on connaît
en général. La formule X = PX
exprime les anciennes coordonnées d’un
vecteure nf onction des nouvelles, et
c’est aussi danscesens qu’on en abesoin.
Exemple:Soit dans l’espace vectoriel R 3 [X ]l es bases :
b = (X
3
, X
2
, X , 1)
et
b
=
(X − 1)
3
, (X − 1)
2
, X − 1, 1
(b
est une base parce qu’elle aquatre éléments de degrés tous distincts).
La matricedepassage de b à b
est:
P=
⎛
⎜
⎜
⎝
100 0
− 310 0
3 − 21 0
− 11 − 11
⎞
⎟
⎟
⎠
Soit un polynôme :
Q = aX
3
+ bX
2
+ cX + d = a
(X − 1)
3
+ b
(X − 1)
2
+ c
(X − 1) + d
⎛
⎜
⎜
⎝
a
b
c
d
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
100 0
− 310 0
3 − 21 0
− 11 − 11
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
a
b
c
d
⎞
⎟
⎟
⎠
D’où :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a = a
b = −3a
+ b
c = 3a
− 2b
+ c
d = −a
+ b
− c
+ d
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
407
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5 Changement de bases
5.1 • Effetd’un changement de bases
sur lescoordonnées d’un vecteur
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1, muni de deux bases
b = (e 1 , ··· ,e n )e tb
=( e
1 , ··· ,e
n ). Soit x un vecteur de E ;o np eut
le représenter dans chacune des bases par une matrice unicolonne :
Si x =
n
i=1
ξ i e i =
n
i=1
ξ
i e
i
M b (x) = X =
⎛
⎜
⎝
ξ 1
. . .
ξ n
⎞
⎟
⎠ et M b (x) = X
=
⎛
⎜
⎝
ξ
1
. . .
ξ
n
⎞
⎟
⎠
Comme x = Id E (x), on peut écrire :
M b (x) = M
b
b (Id E ) M b (x)
C’est-à-dire :
X = PX
où P est la matrice représentant l’identité de E relativement aux bases b
au
départ et b àl’arrivée. La j -ièmecolonne de P représente lescoordonnées de
e
j danslabase b. Cette matrice P estappelée matrice de passage de la base b
àlabase b
(attention àl’ordre !).
Comme elle représente l’identité, une matrice de passageest inversible. L’inverse
de la matricedepassage de b à b
est la matrice de passage de b
à b.
Réciproquement, toutematrice de GL n (K)p eut être considérée comme la matrice
de passage de la base canonique de K
n
dans la base constituée des vecteurs
colonnes.
IMPORTANT
Quand on effectue le changement de
base de b à b
, on appellevolontiers
b «ancienne base »e t b
«nouvelle
base ». La matrice de passage donne les
coordonnéesd es vecteurs de la nouvellebase dans l’ancienne base, ce qui
correspond bien àceque l’on connaît
en général. La formule X = PX
exprime les anciennes coordonnées d’un
vecteure nf onction des nouvelles, et
c’est aussi danscesens qu’on en abesoin.
Exemple:Soit dans l’espace vectoriel R 3 [X ]l es bases :
b = (X
3
, X
2
, X , 1)
et
b
=
(X − 1)
3
, (X − 1)
2
, X − 1, 1
(b
est une base parce qu’elle aquatre éléments de degrés tous distincts).
La matricedepassage de b à b
est:
P=
⎛
⎜
⎜
⎝
100 0
− 310 0
3 − 21 0
− 11 − 11
⎞
⎟
⎟
⎠
Soit un polynôme :
Q = aX
3
+ bX
2
+ cX + d = a
(X − 1)
3
+ b
(X − 1)
2
+ c
(X − 1) + d
⎛
⎜
⎜
⎝
a
b
c
d
⎞
⎟
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎜
⎝
100 0
− 310 0
3 − 21 0
− 11 − 11
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
a
b
c
d
⎞
⎟
⎟
⎠
D’où :
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
a = a
b = −3a
+ b
c = 3a
− 2b
+ c
d = −a
+ b
− c
+ d
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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