COURS 22
Matrices
4.5 • Matrice de la composée de deux applications
linéaires
Soit : E un K-espace vectoriel de dimension p 1, munid’une base b,
F un K-espace vectoriel de dimension n 1, muni d’une base b
,
G un K-espace vectoriel de dimension q 1, muni d’une base b
.
Soit : f ∈L(E,F) A=M
b
b ( f)
g∈L(F,G) B=M
b
b (g)
Soit x ∈ E, tel que M b (x) = X . Alors :
M b (f (x)) = Y = AX et M b (g ◦ f (x)) = Z = BY = BAX .
La matrice représentant g ◦ f dans les bases b et b
étant unique, c’est nécessairement BA.
M
b
b (g ◦ f ) = M
b
b (g) M
b
b (f )
IMPORTANT
C’est cette relation qui justifie la définition de la multiplication matricielle.
En fait, la multiplication des matrices
aé té inventée pour décrire des compositionsd’applications linéaires.
4.6 • Matricecarrée d’un isomorphisme
Si f est un isomorphisme de E dans F (ce qui n’est possible que si
dim E = dim F ), on a:
f ◦f
− 1
=Id F et f
−1
◦ f = Id E . D’où :
M
b
b (f ) M
b
b (f
−1
) = M
b
b (Id F ) = I n et M
b
b (f
−1
) M
b
b (f ) = M
b
b (Id E ) = I n
On en déduit quelamatrice M
b
b (f )e st inversible et :
M
b
b (f )
−1
= M
b
b (f
−1
)
4.7 • Matricecarrée d’un endomorphisme
Danslecas d’un endomorphisme, on peut choisir la même base dans E en tant
qu’espace de départe te nt ant qu’espace d’arrivée. On écrira alors simplement
M b (u)p our la matrice représentant l’endomorphisme u dans la base b.
L’application :
L(E) →M n ( K )
u
→ M b (u)
est un isomorphismed’espace vectoriels et d’anneaux.
u est un automorphismede E si et seulement si la matrice M b (u)e st inversible
et :
M b (u)
−1
= M b (u
−1
)
Ceci explique la terminologie commune utilisée pour décrire l’ensemble des automorphismes de E (groupe linéaire de E)e tl ’ensemble des matrices carrées
inversibles d’ordre n (groupelinéaire d’ordre n de K).
L’application
GL(E) →G L n ( K )
u
→ M b (u)
estunisomorphisme de groupes.
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