Matrices
COURS
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Cela signifie que
x =
p
j=1
ξ j e j .
D’où :
f (x) =
p
j=1
ξ j f (e j ) =
p
j=1
ξ j
n
i=1
a ij e
i =
n
i=1
⎛
⎝
p
j=1
a ij ξ j
⎞
⎠ e
i
La matrice représentant le vecteur f (x)d ans la base b
est donc:
Y =M b ( f(x)) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
y 1
y 2
. . .
y n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
où
y i =
p
j=1
a ij ξ j
On reconnaît la définition d’un produit de matrices :
Y = AX
L’effet de l’application linéaire f revientd onc pour les matrices unicolonnes
représentant les vecteurs àune multiplication àgauche par la matrice A.
IMPORTANT
Dans le cas n = p = 1, on retrouve
la définitiond’une application linéaire
de K dans K : x → ax.
Pour s’entraîner :ex. 12 à15
4.4• Matrice de la somme de deux applications linéaires
Soit f et g deux applications linéaires de E dans F , représentées respectivement par les matrices A et B relativement aux bases b et b
.
∀x ∈ E (f + g)(x) = f (x)+g(x), soit matriciellement :
Y = AX + BX = (A + B)X
La matricereprésentant f + g dans les bases b et b
étant unique, c’est nécessairement A + B.
M
b
b (f + g) = M
b
b (f )+M
b
b ( g)
On montre de même que, pour tout scalaire α :
M
b
b (α f ) = α M
b
b (f )
Ces deux relations expriment que l’application :
L(E, F ) →M np (K)
f
→ M
b
b (f )
est linéaire. Commee lle est évidemment bijective, c’est un isomorphisme
d’espacesvectoriels.
On a, en particulier, l’égalité des dimensions :
dim L(E, F ) = dim M np (K) = np
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