COURS 22
Matrices
D’aprèsc eq ui précède, on peut représenter cette famille par une matrice de
M np (K), que l’on appelle matrice de f relativementa us ystème de bases
(b, b
)e tque nous noterons M
b
b ( f ):
Si ∀j ∈ [[ 1 , p ]] f ( e j ) =
n
i = 1
a ij e
i , M
b
b (f ) =
⎛
⎜
⎜
⎝
a 11 a 12 ··· a 1p
a 21 a 22 ··· a 2p
··· ···
···
a n1 a n2 ··· a np
⎞
⎟
⎟
⎠
Exemple : Soit f :
R 2 [X ] →
R 3 [X ]
P
→ (X +1)P−P
Soit b = (X
2
, X , 1) la base canoniqued e R 2 [ X]e tb
=( X
3
, X
2
, X , 1) celle
de R 3 [X ]. Cherchonsles images par f des éléments de la base b :
f (X
2
) = X
3
+ X
2
− 2Xf ( X ) = X
2
+ X − 1f (1) = X +1
La matrice de f dans le système de bases (b, b
)e st donc :
M
b
b (f ) =
⎛
⎜
⎜
⎝
100
110
− 211
0 − 11
⎞
⎟
⎟
⎠
Réciproquement, toute matrice de M np (K)d éfinit une application linéaire, et
une seule, d’un espace vectoriel de dimension p dans un espace vectoriel de
dimension n munis chacun d’une base.
En conclusion, des bases b et b
de E et F étant choisies, l’application :
L(E, F ) →M np (K)
f
→ M
b
b (f )
est bijective.
En particulier, la matrice A représente uneu nique application linéaire de K
p
dans K
n
relativement aux basescanoniques de ces espaces vectoriels ;onl’appelle
application linéaire canoniquementassociée à A.
On peut exploiter dans les deux sens cette correspondance entre matrices et applications linéaires :tout problème portant sur des applications linéaires en dimension
finiepeut avoir une traduction matricielle, qui al’avantage d’être plus concrète et
de bien se prêter aux calculs, ycompris sur machine.
Réciproquement, tout problème portant sur des matrices peut être interprété en
termes d’applications linéaires, ce qui donne accès àd ep uissants moyens de démonstration (image, noyau, dimensions, bases,etc.).
4.3 • Expression matricielledel’application linéaire
Voyons commentu tiliser la matrice d’une application linéaire pour calculer
l’imaged’un vecteur donné.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension p, munid ’une base
b = (e 1 , e 2 , ··· ,e p ), et F un K-espace vectoriel de dimension n, muni
d’une base b
= (e
1 , e
2 , ··· ,e
n ), f une application linéaire de E dans F
représentéedans les bases b et b
par la matrice A.
Soit x un vecteurde E représenté dans la base b par la matriceunicolonne :
X = M b (x) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
ξ 1
ξ 2
. . .
ξ p
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
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Matrices
D’aprèsc eq ui précède, on peut représenter cette famille par une matrice de
M np (K), que l’on appelle matrice de f relativementa us ystème de bases
(b, b
)e tque nous noterons M
b
b ( f ):
Si ∀j ∈ [[ 1 , p ]] f ( e j ) =
n
i = 1
a ij e
i , M
b
b (f ) =
⎛
⎜
⎜
⎝
a 11 a 12 ··· a 1p
a 21 a 22 ··· a 2p
··· ···
···
a n1 a n2 ··· a np
⎞
⎟
⎟
⎠
Exemple : Soit f :
R 2 [X ] →
R 3 [X ]
P
→ (X +1)P−P
Soit b = (X
2
, X , 1) la base canoniqued e R 2 [ X]e tb
=( X
3
, X
2
, X , 1) celle
de R 3 [X ]. Cherchonsles images par f des éléments de la base b :
f (X
2
) = X
3
+ X
2
− 2Xf ( X ) = X
2
+ X − 1f (1) = X +1
La matrice de f dans le système de bases (b, b
)e st donc :
M
b
b (f ) =
⎛
⎜
⎜
⎝
100
110
− 211
0 − 11
⎞
⎟
⎟
⎠
Réciproquement, toute matrice de M np (K)d éfinit une application linéaire, et
une seule, d’un espace vectoriel de dimension p dans un espace vectoriel de
dimension n munis chacun d’une base.
En conclusion, des bases b et b
de E et F étant choisies, l’application :
L(E, F ) →M np (K)
f
→ M
b
b (f )
est bijective.
En particulier, la matrice A représente uneu nique application linéaire de K
p
dans K
n
relativement aux basescanoniques de ces espaces vectoriels ;onl’appelle
application linéaire canoniquementassociée à A.
On peut exploiter dans les deux sens cette correspondance entre matrices et applications linéaires :tout problème portant sur des applications linéaires en dimension
finiepeut avoir une traduction matricielle, qui al’avantage d’être plus concrète et
de bien se prêter aux calculs, ycompris sur machine.
Réciproquement, tout problème portant sur des matrices peut être interprété en
termes d’applications linéaires, ce qui donne accès àd ep uissants moyens de démonstration (image, noyau, dimensions, bases,etc.).
4.3 • Expression matricielledel’application linéaire
Voyons commentu tiliser la matrice d’une application linéaire pour calculer
l’imaged’un vecteur donné.
Soit E un K-espace vectoriel de dimension p, munid ’une base
b = (e 1 , e 2 , ··· ,e p ), et F un K-espace vectoriel de dimension n, muni
d’une base b
= (e
1 , e
2 , ··· ,e
n ), f une application linéaire de E dans F
représentéedans les bases b et b
par la matrice A.
Soit x un vecteurde E représenté dans la base b par la matriceunicolonne :
X = M b (x) =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
ξ 1
ξ 2
. . .
ξ p
⎞
⎟
⎟
⎟
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