Matrices
COURS
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Calcul de l’inverse d’une matrice carrée inversible.
f A est injectif,etcomme c’est un endomorphisme d’un espace
vectoriel de dimension finie, il estbijectif. La matrice I n possède
donc un antécédent,c’est-à-dire une matrice A
∈M n (K)t elle
que AA
= I n . A est donc aussi inversible àd roite (ce qui
implique, on le sait, que ses inverses àd roite et àg auche sont
égaux : A
= A
).
On procède de même en supposant A inversible àdroite (il faut
considérer l’application X
→ XA).
Nous étudierons danslechapitre suivant une méthode de calcul de l’inverse d’une
matrice carrée inversible. En attendant, nous pourrons nous servir de la calculatrice
(cf. ci-contre).
Pours’entraîner :ex. 8et11
4 Matrice d’une application linéaire
4.1 • Représentation matricielled’une famille
de vecteurs
Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 1, munid’une base
b = (e 1 , e 2 , ··· ,e n ). On peut représenter un vecteur x de E par la matrice
unicolonne,notée M b (x), formée par ses coordonnées dans la base b :
Si x =
n
i=1
ξ i e i , M b (x) = X =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
ξ 1
ξ 2
. . .
ξ n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Plus généralement, on peut représenterune famille de p vecteurs de E (p ∈ N
∗
)
par la matrice de type (n, p)d ont la j -ième colonne représente les coordonnées
du j -ième vecteur de la famille dans la base b :
Si x j =
n
i=1
ξ ij e i , M b (x 1 , ··· ,x p ) =
⎛
⎜
⎜
⎝
ξ 11 ξ 12 ··· ξ 1p
ξ 21 ξ 22 ··· ξ 2p
··· ···
···
ξ n1 ξ n2 ··· ξ np
⎞
⎟
⎟
⎠
4.2 • Représentation matricielle d’une application linéaire
Soit E un K-espace vectoriel de dimension p 1, munid’une base
b = (e 1 , e 2 , ··· ,e p ), et F un K-espace vectoriel de dimension n 1, muni
d’une base :
b
= (e
1 , e
2 , ··· ,e
n )
Une application linéaire f de E dans F est caractérisée par l’image de la base
b, c’est-à-direpar la famille de p vecteurs de F :
f (e 1 ), f (e 2 ), ··· ,f (e p )
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