COURS 22
Matrices
APPLICATION 2
Calculdes puissances d’une matrice carrée
On considèrelamatrice :
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
1111
0111
0011
0001
⎞
⎟
⎟
⎠
On pose B = A − I 4 . Calculer B
n
, puis A
n
.
B =
⎛
⎜
⎜
⎝
0111
0011
0001
0000
⎞
⎟
⎟
⎠
B
2
=
⎛
⎜
⎜
⎝
0012
0001
0000
0000
⎞
⎟
⎟
⎠
B
3
=
⎛
⎜
⎜
⎝
0001
0000
0000
0000
⎞
⎟
⎟
⎠
et ∀n 4 B
n
= 0. On en déduit A
n
par la
formuledubinôme (car BI 4 = I 4 B):
∀n4
A
n
=
3
k = 0
n
k
B
k
=I 4 +nB +
n(n − 1)
2
B
2
+
n(n − 1)(n − 2)
6
B
3
.
On vérified irectement que cette formule reste vraie
pour n ∈ [[ 0 , 3]].
Pour s’entraîner :ex. 5à7
3.2• Éléments inversibles de M n (K)
Unem atrice carrée A ∈M n ( K )e st dite inversible s’ile xiste une matrice
A
−1
∈M n (K)t elle que :
AA
−1
= A
−1
A = I n .
Comme danst out anneau, on sait que l’ensemble des éléments inversibles de
M n (K)e st un groupe multiplicatif. On l’appelle groupe linéaire et il est noté
GL n (K).
Théorème 2
Une matrice carrée de M n (K)e st inversible si et seulement si elle est inversible
àdroite ou inversible àgauche.
Démonstration
Il est clair que si A est inversible, elle est inversible àgauche et àdroite. Supposons
A inversible àgauche, c’est-à-dire que :
∃A
∈M n (K) A
A=I n
Soit f A l’application:
M n (K) →M n ( K )
X
→
AX
.
f A est un endomorphisme de l’espace vectoriel M n (K). Or :
X ∈ Ker f A =⇒ AX = 0 =⇒ A
AX = 0 =⇒ X = 0.
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