Matrices
COURS
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3 Anneau des matrices carrées d’ordre n
3.1 • Structure de M n (K)
L’ensemble des matrices carrées d’ordre n, M n (K), est muni de deux
opérations internes :
• L’addition
M n (K)
2
→M n ( K )
( A , B )
→ A + B
Nouss avons déjà que M n (K)m uni de cette opération estu ng roupe
commutatif.
• La multiplication
M n (K)
2
→M n ( K )
( A , B )
→
AB
Nouss avons que cette opération esta ssociative et,d uf ait de la bilinéarité,
distributive par rapportàl’addition de M n (K). Ellea dmet pour élément
neutre la matrice:
I n =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
1
10
. . .
01
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
appelée matriceunité d’ordre n .
(M n (K), +, ×)e st un anneau.
Remarques :
1) La multiplication dans M n (K) n’est pasc ommutative (sauf si
n = 1). Par exemple :
01
10
0 −1
10
=
10
0 − 1
alors que:
0 −1
10
01
10
=
− 10
01
En particulier, il faudra prendre garde àn ’appliquer la formule du binôme qu’à la
somme de deux matrices qui commutent.
2) Il existe dans M n (K) des diviseurs de zéro, c’est-à-dire des matrices non nulles
dont le produitpeut être nul.
Exemple :
11
11
11
− 1 − 1
=
00
00
Il existe aussi des matrices carrées nilpotentes,c ’est-à-dire des matrices dont une
puissance estnulle :
Exemple :
01
00
2
=
00
00
Pour s’entraîner :ex. 2à4
Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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