COURS 22
Matrices
Démonstration
Soit
A ∈M np (K),
(B, B
) ∈M pq (K)
2
et (α, β) ∈ K
2
.
Posons :
A = (a ij ), B = (b jk ), B
= (b
jk )
AB = (c ik ), AB
= (d ik ), A(αB + βB
) = (e ik ), αAB + βAB
= (f ik )
∀(i, k) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , q ]]
e ik =
p
j=1
a ij (αb jk + βb
jk )
=
p
j=1
(αa ij b jk + βa ij b
jk ) = αc ik + βd ik = f ik
d’où :
A(αB + βB
) = α AB + β AB
De même pour toute matrice A
∈M np (K):
(αA+βA
)B=αAB + β A
B
APPLICATION 1
Produit par blocs
Soit A unem atrice de type (n, p)o ùn=n 1 + n 2
et p = p 1 + p 2 (n 1 , n 2 , p 1 et p 2 étant des entiers
strictementpositifs).
On peut écrire A sous forme de «blocs »:
A=
A 11 A 12
A 21 A 22
où A 11 , A 12 , A 21 , A 22 sont desmatrices de types
respectifs (n 1 , p 1 ), (n 1 , p 2 ), (n 2 , p 1 )e t( n 2 , p 2 ) .
Considérons une seconde matrice B de type (p, q)
où q = q 1 + q 2 (q 1 et q 2 étant des entiers strictement positifs).
On peut également écrire B sousforme de blocs :
B =
B 11 B 12
B 21 B 22
où B 11 , B 12 , B 21 , B 22 sontdes matrices de types
respectifs (p 1 , q 1 ), (p 1 , q 2 ), (p 2 , q 1 )e t( p 2 , q 2 ) .
Calculons le produit AB :
Pour (i, k) ∈ [[ 1 , n 1 ]] × [[ 1 , q 1 ]] :
c ik =
p
j=1
a ij b jk =
p1
j=1
a ij b jk +
p1+p2
j=p1+1
a ij b jk
On reconnaîtl ec oefficient (i, k)d el am atrice
A 11 B 11 + A 12 B 21 .
Le calcul est le même quelle que soitlaplace de i par
rapportà n 1 et de k par rapport à q 1 .
Si bien quel’on peut écrire :
AB =
A 11 A 12
A 21 A 22
B 11 B 12
B 21 B 22
=
A 11 B 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22
A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 22 B 22
Tout se passe comme si A et B étaient des hypermatrices de type( 2 , 2), dont les coefficients seraient
les blocs...
Ce principe de calcul se généralise àunnombre quelconque de blocs, du moment que la partition des colonnes de A coïncide avec celle des lignes de B.
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