Matrices
COURS
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Dans la pratique,pour calculer le coefficient de la i -ième ligne, k -ième colonne
de la matrice AB, on considèrela i-ième ligne de A, la k -ième colonne de B
et on fait la somme de leurs produits terme àterme :
c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + ···+a in b nk
Produit de deux matrices.
(La fonction randMat(n,p) définitune matrice aléatoire
à n lignes, p colonnes àcoefficients entiers.)
On peut adopterladisposition :
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
b 1k
b 2k
. . .
b pk
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝ a i1 a i2 ··· a ip
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎝
c ik
⎞
⎟
⎟
⎠
Exemple : Utilisation de la calculatrice (cf.ci-contre).
2.2 • Associativité
Soit n, p, q et r quatre entiers strictement positifs et A, B, C trois matrices
telles que: A∈M np (K), B ∈M pq (K)e tC∈M qr (K).
Posons :
A = (a ij ),
B = (b jk ),
C = (c kl )
AB = (d ik ), (AB)C = (e il ), BC = (f jl ), A(BC ) = (g il )
∀(i, l) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , r ]] e il =
q
k=1
d ik c kl =
q
k=1
p
j=1
a ij b jk c kl
∀(i, l) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , r ]] g il =
p
j=1
a ij f jl =
p
j=1
q
k=1
a ij b jk c kl
L’ordre des sommations n’a pas d’importance :
∀(i, l) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , r ]] e il = g il
d’où :( AB)C = A(BC)
La multiplication matricielle est associative.
2.3 • Bilinéarité
IMPORTANT
On dit que l’application:
Mnq ×Mpq(K) →Mnq(K)
(A, B)
→ AB
estbilinéaire.
Théorème 1
Soit n, p, q troisentiers strictement positifs.
Pour toute matrice A fixée de M np (K):
l’application
M pq (K) →M nq (K)
B
→
AB
est linéaire.
Pour toutematrice B fixée de M pq (K):
l’application
M np (K) →M nq (K)
A
→
AB
est linéaire.
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