COURS 22
Matrices
1.3 • Multiplication d’unematrice par un scalaire
Soit A = (a ij ) ∈M np (K)e tα∈K .On appelle produit de la matrice A par le
scalaire α la matrice αA = (b ij )d eM np (K)d éfinie par :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , p ]] b ij = αa ij
Exemple :
3 ·
⎛
⎝
10 − 2 − 3
2 − 101
311 − 2
⎞
⎠ =
⎛
⎝
30 − 6 − 9
6 − 303
933 − 6
⎞
⎠
On vérifie facilement que cette opération externe satisfait aux quatre propriétés de
la définition d’un espace vectoriel sur le corps K.
(M np (K), +, · )est un K-espace vectoriel.
1.4 • Base de M np (K)
IMPORTANT
Parexemple, dans M 3,4 (R):
E 2 , 3=
⎛
⎝
0000
0010
0000
⎞
⎠
Soit A = (a ij ) ∈M np (K). On remarque que
A =
n
i=1
p
j=1
a ij E ij ,
où E ij
est la matrice de M np (K)d ont tous les coefficients sont nuls, sauf celui de la
ligne i et de la colonne j qui vaut 1.
La famille (E ij ) (i, j)∈[[ 1 , n ]] × [[ 1 , p ]] engendre donc M np (K). Or :
n
i=1
p
j=1
a ij E ij = 0 =⇒∀ ( i , j ) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , p ]] a ij = 0
La famille (E ij )e st donc libre. C’est une base de M np (K), appelée base canonique.Onendéduit :
dim M np (K) = np
2 Multiplication matricielle
2.1 • Produitdedeux matrices
Soit n, p, q troisentiers strictement positifs, A une matrice de M np (K)e t
Bune matrice de M pq (K)( le nombre de colonnes de A est égal au nombre de
lignes de B).
Posons A = (a ij )e tB=( b jk )( par commodité, on choisit de donner le même
nom àl ’indice de colonne de A et àl ’indice de ligne de B, qui parcourent le
même intervalle [[ 1 , p ]] ) .
On appelle produit des matrices A et B, la matrice AB = (c ik )d eM nq (K)
(elle alemême nombre de lignes que A et le même nombre de colonnes que B)
définiepar :
∀(i, k) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , q ]] c ik =
p
j=1
a ij b jk
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