Matrices
COURS
22
1 Espace vectoriel M np (K)
1.1 • Matrices à n lignes et p colonnes
IMPORTANT
Une matrice étant définie comme une
application, deux matrices sont égales
si et seulement si elles sont de même
typeetsileurs coefficients correspondants sont égaux.
Soit K le corpscommutatif R ou C,et n,p deux entiers naturels non nuls. On
appelle matrice à n lignes et p colonnes (oudetype (n, p)) àcoefficients dans
K ,une application :
[[ 1 , n ]] × [[ 1 , p ]] →
A K
( i , j )
→ a ij
c’est-à-dire la donnée de np éléments de K ,q ue l’on peut disposer en
tableau :
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
a 11 a 12 ··· a 1p
a 21 a 22 ··· a 2p
··· ··· ··· ···
a n1 a n2 ··· a np
⎞
⎟
⎟
⎠
Lorsqu’il n’y apas d’ambiguïté sur les valeurs de n et p, la matrice A sera notée
A = (a ij ). Le premier indice du coefficient a ij est appelé indice de ligne et le
second, indice de colonne.L’ensemble des matrices de type (n, p)àcoefficients
dans K est noté M np (K).
On peut saisir une matrice en donnant entre crochets la
liste de ses coefficients, séparés par des virgules ;onchange
de ligne par un point-virgule.
Le menu MATH/Matrix donne accès àdenombreuses fonctions concernant les matrices. Consulter le manuel de la
calculatrice.
On appelle matricecarrée d’ordre n une matrice de type (n, n).
Ses coefficients dont les indices de ligne et de colonne sont
égaux sont appelés coefficients diagonaux.L af amille des coefficients diagonaux esta ppelée diagonale de la matrice. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n àcoefficients dans K est
noté M n (K).
1.2 • Addition desmatrices
Soit A = (a ij )e tB=( b ij )d euxm atricesd e M np (K). On
appelle sommedes matrices A et B, la matrice A + B = (c ij )
de M np (K)d éfinie par :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , p ]] c ij = a ij + b ij
Exemple :
⎛
⎝
10 − 2 − 3
2 − 101
311 − 2
⎞
⎠ +
⎛
⎝
0 − 122
11 − 1 − 1
− 22 − 12
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1 − 10 − 1
30 − 10
1300
⎞
⎠
Cette addition est une opération interne dans M np (K). On vérifief acilement
qu’elle est commutative et associative ;l amatrice nulle de M np (K)( matriced ont tous les coefficients sont nuls) esté lément neutre ;t oute matrice
A = (a i,j ) ∈M np (K)p ossède une opposée : −A = (−a i,j ). On peut donc
énoncer:
(M np (K), +) est un groupe abélien.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
397
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1 Espace vectoriel M np (K)
1.1 • Matrices à n lignes et p colonnes
IMPORTANT
Une matrice étant définie comme une
application, deux matrices sont égales
si et seulement si elles sont de même
typeetsileurs coefficients correspondants sont égaux.
Soit K le corpscommutatif R ou C,et n,p deux entiers naturels non nuls. On
appelle matrice à n lignes et p colonnes (oudetype (n, p)) àcoefficients dans
K ,une application :
[[ 1 , n ]] × [[ 1 , p ]] →
A K
( i , j )
→ a ij
c’est-à-dire la donnée de np éléments de K ,q ue l’on peut disposer en
tableau :
A =
⎛
⎜
⎜
⎝
a 11 a 12 ··· a 1p
a 21 a 22 ··· a 2p
··· ··· ··· ···
a n1 a n2 ··· a np
⎞
⎟
⎟
⎠
Lorsqu’il n’y apas d’ambiguïté sur les valeurs de n et p, la matrice A sera notée
A = (a ij ). Le premier indice du coefficient a ij est appelé indice de ligne et le
second, indice de colonne.L’ensemble des matrices de type (n, p)àcoefficients
dans K est noté M np (K).
On peut saisir une matrice en donnant entre crochets la
liste de ses coefficients, séparés par des virgules ;onchange
de ligne par un point-virgule.
Le menu MATH/Matrix donne accès àdenombreuses fonctions concernant les matrices. Consulter le manuel de la
calculatrice.
On appelle matricecarrée d’ordre n une matrice de type (n, n).
Ses coefficients dont les indices de ligne et de colonne sont
égaux sont appelés coefficients diagonaux.L af amille des coefficients diagonaux esta ppelée diagonale de la matrice. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n àcoefficients dans K est
noté M n (K).
1.2 • Addition desmatrices
Soit A = (a ij )e tB=( b ij )d euxm atricesd e M np (K). On
appelle sommedes matrices A et B, la matrice A + B = (c ij )
de M np (K)d éfinie par :
∀(i, j) ∈ [[ 1 , n ]] × [[ 1 , p ]] c ij = a ij + b ij
Exemple :
⎛
⎝
10 − 2 − 3
2 − 101
311 − 2
⎞
⎠ +
⎛
⎝
0 − 122
11 − 1 − 1
− 22 − 12
⎞
⎠ =
⎛
⎝
1 − 10 − 1
30 − 10
1300
⎞
⎠
Cette addition est une opération interne dans M np (K). On vérifief acilement
qu’elle est commutative et associative ;l amatrice nulle de M np (K)( matriced ont tous les coefficients sont nuls) esté lément neutre ;t oute matrice
A = (a i,j ) ∈M np (K)p ossède une opposée : −A = (−a i,j ). On peut donc
énoncer:
(M np (K), +) est un groupe abélien.
Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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