Fonctions usuelles
COURS
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3 Fonctions hyperboliques réciproques
3.1 • Fonction argument sinus hyperbolique
Surl aT I-92/Voyage 200, la fonction Argsh est notée
sinh
−1 (menu MATH/Hyperbolic). Ne pas confondre
avec la fonction x →
1
sh x
.
La fonction sinus hyperbolique est continue et strictementcroissante sur R ;s es limitese n ± ∞ sont ±∞. C’est donc une
bijectiondeRdans R.Labijection réciproque est appelée argument sinushyperbolique et notée x → Argsh x.
Pardéfinition :
Pour tout x ∈ R, Argsh x estl’unique élément de R qui a
poursinus hyperbolique x :
y = Argsh x
x ∈ R
⇐⇒
x = sh y
y ∈ R
D’aprèslethéorème utilisé, la fonction argument sinus hyperbolique est également
continue et strictementcroissante sur R.
Dérivée
sh
Argsh
y
x
O
Doc. 10 Argument sinus hyperbolique.
La fonction sh étant dérivable sur R et sa dérivée ne s’annulant pas, la fonction
Argshe st dérivable sur R (Doc.10) et :
∀x ∈ R (Argsh)
(x) =
1
ch (Argsh x)
or ch
2
(Argsh x) = 1+sh
2
(Argsh x) = 1+x
2
et ch (Argsh x) > 0, donc
ch (Argsh x) =
√
x 2 +1. D’où :
(Argsh)
(x) =
1
√ x 2 +1
3.2• Fonction argument cosinus hyperbolique
Surl aT I-92/Voyage 200, la fonction Argch est notée
cosh
−1 (menu MATH/Hyperbolic). Ne pas confondre
avec la fonction x →
1
ch x
.
La restriction à R + de la fonction cosinus hyperbolique est
continue et strictementc roissante sur R + ;s al imite en +∞
est +∞. C’estd onc une bijection de R + dans[ 1 , + ∞ [ .
La bijection réciproque de [1, +∞[d ans R + esta ppelée
argument cosinush yperbolique et notée x → Argch x. Par
définition:
Pour tout x ∈ [1, +∞[ , Argch x est l’unique élémentde R +
qui apour cosinus hyperbolique x
y = Argch x
x ∈ [1, +∞[
⇐⇒
x = ch y
y ∈ R +
D’aprèslethéorème utilisé, la fonction argument cosinus hyperbolique est également continue et strictementcroissante sur [1, +∞[.
 Hachette Livre–HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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