COURS 2
Fonctions usuelles
APPLICATION 2
Formules d’addition en trigonométriehyperbolique
Calculer ch (a + b), ch (a − b), sh (a + b), sh (a − b),
ch 2a, sh 2a.
ch (a + b) =
1
2
(e
a+b
+e
− a − b
)
=
1
4
[(e
a
+e
− a
)(e
b
+e
− b
)
+(e
a
− e
−a
)(e
b
− e
−b
)]
D’où :
ch (a + b) = ch a ch b +shash b
En changeant b en −b, on obtient :
ch (a − b) = ch a ch b − sh a sh b
On en déduit :
ch 2a = ch
2
a +sh
2
a=2ch
2
a−1 = 2sh
2
a+1
sh (a + b) =
1
2
(e
a+b
− e
−a−b
)
=
1
4
[(e
a
− e
−a
)(e
b
+e
− b
)
+(e
a
+e
− a
)(e
b
− e
−b
)]
D’où :
sh (a + b) = sh a ch b +chash b
sh (a − b) = sh a ch b − ch a sh b
et :
sh 2a = 2shach a
Remarque :Laplupart des formules de trigonométrie s’étendent aux fonctions hyperboliques, moyennant certains changements de signe.
2.3 • Fonction tangente hyperbolique
Sur la TI-92/Voyage 200, cette fonction est notée tanh
(menu MATH/Hyperbolic).
La fonction tangente hyperbolique est définie sur R par :
th x =
sh x
ch x
=
e
x
− e
−x
e x +e − x =
e
2 x
−1
e 2 x +1
Cette fonction est impaire.
Elle est dérivable sur R et :
∀x ∈ R th
(x) =
ch
2
x − sh
2
x
ch 2 x
∀x ∈ R th
(x) = 1 − th
2
x =
1
ch 2 x
y
x
1
0
−1
th
Doc. 9 Tangente hyperbolique.
La fonction th est strictement croissante sur R (Doc.9).
Au voisinagede+ ∞ , th x ∼
e
x
e x , donc lim
x→+∞
th x = 1.
Commelafonction th est impaire, lim
x→−∞
th x = −1.
Pour s’entraîner :ex. 4et6
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