Fonctions usuelles
COURS
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2.1 • Fonctions sinus et cosinus hyperboliques
Surl aT I-92/Voyage 200 ces deux fonctions sont notées
sinh et cosh (menu MATH/Hyperbolic).
On appelle sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique la partie impaire et la partiep aire de la fonction exponentielle de
base e:
∀x∈R
sh x =
e
x
− e
−x
2
et ch x =
e
x
+e
− x
2
Ces deux fonctions (Doc.7)sont dérivables sur R et :
∀x ∈ R (sh )
(x) = ch x et (ch )
(x) = sh x
Il en résulteles tableaux de variation suivants :
x
−∞
0+ ∞
x
− ∞0+ ∞
sh
x
+1+
ch
x
− 0+
+ ∞
+ ∞
+ ∞
sh x
0
ch x
− ∞
1
y
x
ch
sh
O
2
e
x
Doc. 7 Cosinusetsinus
hyperboliques.
Remarque : lim
x→+∞
(ch x −
e
x
2
) = 0 et lim
x→+∞
(sh x −
e
x
2
) = 0. Les courbes d’équations
y = ch x, y = sh xe ty=
e
x
2
sont asymptotes en +∞, leurs positions relatives étant
données par les inégalités :
∀x ∈ R sh x <
e
x
2
< ch x
2.2 • Trigonométriehyperbolique
On vérifiefacilement que pour tout x ∈ R :
ch x +shx=e
x
et ch x − sh x = e
−x
D’où :
∀x ∈ R ch
2
x − sh
2
x = 1
Y
X
M
1 chx
shx
Doc. 8 Paramétraged’une
demi-hyperbole.
En posant :
X = ch x et Y = sh x,
on a
X
2
− Y
2
= 1e tX 1 .
Dans un plan rapporté àunrepère orthonormal, le point de coordonnées (X , Y )
décrit donc une demi-hyperbole équilatère (Doc. 8) (voirchapitre 6:Coniques):
les fonctions hyperboliques servent àp aramétrer la demi-hyperbole d’équations
X
2
− Y
2
= 1 , X 1.
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