COURS 2
Fonctions usuelles
En choisissant α < β et en appliquantlethéorème d’encadrement (chapitre 15,
§4.3), on en déduit :
∀β > 0l im
x→+∞
ln x
x β = 0
On ditque ln x est négligeable devant x
β
au voisinage de +∞ (voir chapitre 15,
§5.2).
Plus généralement,pour tout α > 0e tβ>0 ,on a:
(ln x)
α
x β =
ln x
x
β
α
α
,
d’où :
∀α > 0 ∀β > 0l im
x→+∞
(ln x)
α
x β = 0
(ln x)
α
estnégligeable devant x
β
au voisinagede+ ∞ .
En posant x =
1
X
, on en déduit :
∀α > 0 ∀β > 0l im
x→0
x
β
| ln x|
α
= 0
| ln x|
α
estnégligeable devant
1
x β au voisinagede0 .
2) Pour tout α > 0e tβ>0 ,
e
α x
x β =e
α x − β ln x
= e
x(α−β
ln x
x )
.
Comme
ln x
x
tend vers 0quand x tend vers +∞,
∀α > 0 ∀β > 0l im
x→+∞
e
αx
x β = +∞
x
β
estnégligeable devant e
αx
au voisinagede+ ∞ .
En posant x = −X , on obtient de même :
∀α > 0 ∀β > 0l im
x→−∞
|x|
β
e
αx
= 0
e
αx
est négligeable devant
1
|x β |
au voisinagede+ ∞ .
2 Fonctions hyperboliques
Toute fonction définies ur R est, de façon unique, la somme d’une fonction
impaireetd’une fonction paire :
∀x ∈ R
f (x) =
f (x) − f (−x)
2
+
f (x)+f(−x)
2
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