Fonctions usuelles
COURS
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Dérivée
Pour tout a ∈ R
∗
+ \{1}, la fonction log a estdérivable sur R
∗
+ et :
∀x ∈ R
∗
+
(log a )
(x) =
1
ln a
·
1
x
Pour s’entraîner:ex. 2et3
1.5• Fonctions puissances
La définition desf onctions exponentielles permet d’élever un réel strictement
positif àlapuissance d’un exposant réel quelconque. Pour tout α ∈ R, on peut
donc définir la fonction :
R
∗
+
→
f α R
x
→ x
α
par:
∀x∈R
∗
+
x
α
=e
αln x
Cettefonction f α est dérivable sur R
∗
+ et :
∀x ∈ R
∗
+
f
α (x) = α ·
1
x
· e
α ln x
= αx
α−1
Cette propriété généralise pour les exposants réels celle qui était connue pour les
seulsexposants rationnels.
• Si α = 0, la fonction f α est constante sur R
∗
+ : ∀x ∈ R
∗
+
x
0
= 1.
• Si α > 0, la fonction f α eststrictement croissante sur R
∗
+ .
• Si α < 0, la fonction f α est strictement décroissantesur R
∗
+ .
Pour α
= 0, on ales tableaux de variation suivants :
Si α > 0
x
0+ ∞
Si α < 0
x
0+ ∞
+ ∞
+ ∞
f α ( x )
f α ( x )
0
0
Doc. 6 Les fonctions puissances.
Notons que si α 0, on peut prolonger f α par continuitée n0e np osant :
f α (0) = 0s iα>0,et f 0 (0) = 1.
• Si α > 1, lim
x→0
f
α (x) = 0, donc f α estdérivable en 0et f
α (0) = 0.
• Si α = 1, f 1 (x) = x ; f 1 est dérivable en 0et f
α (0) = 1.
• Si α < 1, lim
x→0
f
α (x) = +∞, donc f α n’est pas dérivable en 0(Doc.6).
1.6 • Croissances comparées
1) On aprouvé que pour tout x ∈ R
∗
+ :
ln x x − 1; afortiori, ln x < x.
Pour tout α > 0, ln x
α
< x
α
, d’où ln x <
x
α
α
.
Pour tout β > 0e tx1 ,on a: 0
ln x
x β <
x
α−β
α
.
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