COURS 2
Fonctions usuelles
ATTENTION
Seulu nr éel strictement positif peut être élevé àu ne xposant réel quelconque. 2
√
2 signifie
exp 2 (
√
2), c’est-à-dire exp(
√ 2ln2);
mais (−2)
√
2 n’a aucun sens.
Aveccette nouvelle notation, on adonc :
∀x ∈ R a
x
= e
x ln a
∀x ∈ R ln a
x
= x ln a
∀(x, y) ∈ R
2
a
x+y
= a
x
a
y
∀x ∈ R a
−x
=
1
a x
∀(x, y) ∈ R
2
a
x−y
=
a
x
a y
De plus : ∀(x, y) ∈ R
2
a
x
y = e
y ln a
x = e
y(x ln a)
= e
xy ln a
= a
xy
∀(x, y) ∈ R
2
a
x
y = a
xy
On aaussi :
∀(a, b) ∈ (R
∗
+ )
2
∀x ∈ R (ab)
x
= e
x ln(ab)
= e
x(ln a+ln b)
= e
x ln a
e
x ln b
= a
x
b
x
∀(a, b) ∈ (R
∗
+ )
2
∀x ∈ R (ab)
x
= a
x
b
x
y
x
2
–x
2
x
1
x
10
–x
10
x
e –x
e x
0
1
Doc. 4 Lesfonctions exponentielles.
Ces relationsgénéralisent pour les exposants réels les propriétés connues pour les
seuls exposants entiers.
Dérivée
Pour tout a ∈ R
∗
+ , la fonction exp a (Doc.4)est dérivable sur R et :
∀x ∈ R (exp a )
(x) = a
x
ln a
• Si a = 1, la fonction exp 1 est constante : ∀x ∈ R 1
x
= 1.
• Si a > 1, la fonction exp a est strictement croissante.
• Si a < 1, la fonction exp a est strictement décroissante.
Remarque :Pour dériver x
→ u(x)
v(x)
, il faut reveniràla définition :
u(x)
v(x)
= e
v(x)lnu(x)
. Par exemple x
→ x
x
= e
x ln x
apour dérivée x
→ (ln x+1)x
x
.
1.4 • Fonctions logarithmes de base quelconque
Si a ∈ R
∗
+ \{1}, la fonction exp a est continue et strictement monotone sur
R :c ’est donc une bijection de R dans R
∗
+ . La bijection réciproque est appelée
logarithme de base a et notée log a . On adonc :
∀a ∈ R
∗
+ \{1}
y = log a x
x ∈ R
∗
+
⇐⇒
x = a
y
y ∈ R
y
x
a = 2
a = e
a = 10
a = 1/10
a = 1/e
a = 1/2
1
0
Doc. 5 Les fonctions logarithmes.
Commec ette égalité équivaut encore àl n x=y ln a, on en déduit y =
ln x
ln a
,
c’est-à-dire :
∀a ∈ R
∗
+ \{1}∀ x ∈ R
∗
+
log a x =
ln x
ln a
Toutes les fonctions logarithmes sont proportionnelles (Doc.5).
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