Fonctions usuelles
COURS
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En notant eleréel exp(1), on adonc : ∀n ∈ Z exp(n) = e
n
.
On convient d’écrire pour tout x ∈ R :e xp(x) = e
x
(pour x ∈ Z, c’estune propriété ;pour x
∈ Z, c’est une définition).
La fonction exp estappelée exponentielledebase e.
Avec cettenouvelle notation, on adonc :
∀x ∈ R e
−x
=
1
e x
∀(x, y) ∈ R
2
e
x−y
=
e
x
e y
∀n ∈ Z ∀x ∈ R e
nx
=
e
x
n
Nous démontrerons dans le chapitre 16 : Dérivation desf onctions d’une variable
réelle que, si f est une bijection,d érivable, et si sa dérivée ne s’annule pas sur
I ,alors f
−1
est dérivable sur J = f (I )d edérivée :
(f
−1
)
=
1
f
◦ f
−1
y
x
x +1
0
1
x
e
Doc. 3 La fonction exponentielle.
La dérivée du logarithme népérien ne s’annulant pas, la fonction exponentielle est
dérivable sur R et :
∀x ∈ R (exp)
(x) =
1
1/e x = e
x
La fonction exponentielledebase eest égale àsadérivée.
Les limitesd el ’exponentielle se déduisent de celles du logarithme népérien
(Doc.3):
lim
x→+∞
e
x
= +∞
lim
x→−∞
e
x
= 0
1.3 • Fonctionsexponentielles de base quelconque
Soit a ∈ R
∗
+ . On appelle exponentielled eb ase a la fonction notée exp a
définie sur R par :
∀x ∈ R exp a (x) = e
x ln a
On vérifie que :
∀(x, y) ∈ R
2
exp a (x + y) = exp a (x)exp a (y)
En effet :
exp a (x + y) = e
(x+y)lna
= e
xln a
e
y ln a
= exp a (x)exp a (y)
En particulier :
∀n ∈ Z exp a (n) =
exp a (1)
n = a
n
On convient d’écrire pourtout x ∈ R :e xp a (x) = a
x
.
 Hachette Livre –HPrépa /Math –Laphotocopie non autorisée est un délit
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